Tangentialvektor einer Kurve

Hallo Warum

ich denke nicht, dass das so gemeint war.

Unter einer Kurve im Raum versteht man nicht eine Fläche, wie es dein Beispiel ist.

Darunter versteht man eine Linie, die sich im Raum befindet. Um die Linie anzugeben, kann man alle Koordinaten in Abhängigkeit eines Parameters angeben, welche in Anlehnung an die Physik meistens mit t bezeichnet wird.

Z.B. eine Gerade durch den Nullpunkt im 3-dimensionalen Raum, welche 45 Grad in den 1. Quadranten hineingeht: ${\displaystyle \mathrm{\gamma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}),\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}),\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left)\right)=(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

Die erste Ableitung nach t ist dann (1,1,1), und das ist ein Tangentialvektor der Länge ${\displaystyle \sqrt{3}}$.

den du physikalisch als Geschwindigkeitsvektor deuten darfst.

Der Tangential-Einheitsvektor, den ihr offenbar defiiert habt, ist dann ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}*(1,1,1)}$

(Also, falls nicht recht lesbar: der Vektor (1,1,1) dividiert durch die Wurzel aus 3.

Ein anderes Beispiel: Ein Adler dreht sich spiralförmig Richtung Himmel, und seine Position in Abhängigkeit von t (Zeit) ist ${\displaystyle \mathrm{\gamma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=(\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right),\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right),\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

Dann ist sein Geschwindigkeitsvektor ${\displaystyle \mathrm{\gamma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\prime \left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=(-\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right),\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right),\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

Seine Geschwindigkeit ist ${\displaystyle \sqrt{{\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}$, und somit der Tangential-Einheitsvektor (er zeigt in der Richtung der Adler-Geschwindigkeit, hat aber nur die Länge 1): ${\displaystyle (-\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right),\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right),\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})*\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}}$

Alles klar?

Gruss

Paul