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Taubenschlagprinzip

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Tags: Linear Abbildung

 
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frage344

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17:25 Uhr, 23.11.2022

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Moin, ich wollte eure Hilfe zu dieser Aufgabe (siehe Anhang). Bitte nicht direkt die Lösung. Brauche eher Denkanstöße. n beschriebt die Anzahl an Personen. Meine Idee war das Taubenschlagprinzip irgendwie zu verwenden, aber so ganz blick ich noch nicht durch :( Wir haben ja als "Randfall" , wenn nur 3 Personen da sind. In diesem Fall treffe ich mich ja mit zwei Personen. Wenn |T| die Anzahl an getroffenen Personen beschreibt , wäre für mich |T| = 2, für die anderen beiden Personen jeweils |T| = 1. Können sich die beiden anderen Personen auch gegenseitig treffen? Dann wäre ja für beliebiges n immer |T| für alle Personen gleich.
Wie sieht es dann mit n = 4 aus?
Gruß


Screenshot 2022-11-23 at 17.12.38

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
Roman-22

Roman-22

20:07 Uhr, 23.11.2022

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> Können sich die beiden anderen Personen auch gegenseitig treffen?
Ja, natürlich können sie - sie müsse aber nicht zwangsläufig.

Wenn bei n Personen der Ausdruck |Ti| die Anzahl der Treffen von Person #i bezeichnet und alle |Ti| verschieden sein sollen dann wäre das nur möglich, wenn {|Ti|}={0;1;...n-1}, also alle Zahlen von 0 bis n-1 treten tatsächlich auf. Wenn aber eine Person kein einziges Treffen absolviert hat, kann eine andere Person auch nicht n-1 Treffen haben.
Natürlich wird dabei angenommen, dass zwei Personen einander nicht mehrmals "treffen" können, denn sonst wäre die zu beweisende Aussage ja auch nicht wahr.
Antwort
HAL9000

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20:32 Uhr, 23.11.2022

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Offtopic-Anmerkung:

Taubenschlagprinzip? Naja, die englische Bezeichnung "pigeonhole principle" übersetzt stimmt das schon. Aber wir müssen uns mit dem üblichen deutschen Begriff auch nicht verstecken und ihn aussterben lassen:

Schubfachprinzip

frage344

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16:17 Uhr, 24.11.2022

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Erstmal Danke für die Antwort. Ich verstehe jetzt dann aber nicht wie ich dann Zeige, dass es zwei Mengen |Ti| gibt die gleichmächtig sind (um zu zeigen, dass egal , welches n mind 2 Personen gleiche Anzahl Leute getroffen haben ) . Reicht es da zu sagen, dass für beliebiges a, b e N gilt |T_a| = |T_b|?
frage344

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16:17 Uhr, 24.11.2022

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natürlich mein ich mit N die Anzahl an Leuten
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Roman-22

Roman-22

18:23 Uhr, 24.11.2022

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> Reicht es da zu sagen, dass für beliebiges a,beN gilt |Ta|=|Tb|?
Das würde voll reichen, aber es stimmt ja nicht! Das würde doch bedeuten, dass jede Person gleich viele andere getroffen hat und das muss doch keinesfalls der Fall sein.

Es sind n Personen und klarerweise kann eine Person maximal n-1 andere getroffen haben.
Die Anzahl der getroffenen Personen kann als für jeden der n Leute nur im Bereich von 0 bis n-1 liegen. Das sind n verschiedene Möglichkeiten.
Wie ich oben argumentiert habe, kann es aber nicht sein, dass eine Person niemanden getroffen hat (|T|=0) und eine andere aber n-1.
Das bedeutet, dass es mehr Personen gibt als mögliche Anzahlen von Getroffenen und daher müssen mindestens zwei Personen die gleich Anzahl an Kollegen getroffen haben. Da greift eben das Schubfachprinzip.

Frage beantwortet
frage344

frage344 aktiv_icon

18:45 Uhr, 24.11.2022

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Achsoo. Jetzt hab Ichs gecheckt. Hatte es mir völlig falsch vorgestellt. Hatte gedacht. Man trifft sich immer mit Leuten. Danke für die Erklärung .