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Taylor-Polynome einer verketteten Funktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Landau-Symbol, Taylorpolynom, Taylorreihe

faselfaselpasel aktiv_icon

08:40 Uhr, 13.05.2015

hallo,

ich muss das Taylor-Polynom 6. Grades im Entwicklungspunkt

x = 0

mithilfe bekannter Reihendarstellungen finden.

f (x) = \frac{1}{1 - sin (x)}

Ansatz:
Taylorpolynom der Funktion:

sin (x) = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + O (x^{7})

Taylorpolynom der Funktion:

\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6} + O (x^{7})

Jetzt muss ich ja das taylorpolynom der funktion

sin (x)

in das taylorpolynom der funktion

\frac{1}{1 - x}

einsetzen.

Dann erhalte ich allerdings terme wie

z . b

{(\frac{x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!}}{3!})}^{3}

. Wie kann man sowas lösen?

Vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

09:58 Uhr, 13.05.2015

Hallo,

man kann so vorgehen, wie Du beschrieben hast. Dann musst Du der Reihe nach ausrechnen:

y, y^{2}, y^{3}, y^{4}, y^{5}, y^{6},

wobei

y = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + O (x^{7})

.
Dabei brauchst Du nur Terme notieren, deren Ordnung kleiner als 7 ist.

Eine Alternative ist der Ansatz

f (x) = a_{0} + a_{1} \cdot x + ... + a_{6} \cdot x^{6} + . .

. mit unbekannten Koeffizienten und dann die Gleichung aufstellen:

1 = (1 - sin (x)) \cdot f (x) = (1 - x + ...) \cdot (a_{0} + a_{1} \cdot x + . .

.

Daraus lassen sich rekursiv die

a_{i}

bestimmen. Das Produkt auf der rechten Seite kann als Cauchy-Produkt berechnet werden, was eventuell rechnerisch etwas einfacher zu handhaben ist.

Gruß pwm

DerDepp aktiv_icon

14:17 Uhr, 13.05.2015

Hossa :-)

Vielleicht so?

\frac{1}{1 - \sin x} = \frac{1 + \sin x}{1 - \sin^{2} x} = \frac{1 + \sin x}{\cos^{2} x} = (1 + \tan^{2} x) (1 + \sin x)

Dann die Potenzreihen für

t a n (x)

und

\sin (x)

einsetzen und alles bis maximal zur 6-ten Ordnung ausrechnen.

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