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Taylor-Reihe mit vollst. Induktion

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

anonymous

19:54 Uhr, 23.02.2011

Hallo, wenn man die

n -

te Ableitung des Taylorpolynoms der Fkt.

ln (\frac{1}{x - 1})

durch vollständige Induktion beweisen soll, haut das mit dem

(I A \Rightarrow n = 0)

nicht hin.
Woran kann das liegen? Stimmt evt. meine

n -

te Ableitung nicht?
Also:

f (x) = ln (\frac{1}{x - 1})

f' (x) = \frac{1}{1 - x}

f'' (x) = - \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}

f''' (x) = \frac{2}{{(1 - x)}^{3}}

.
.
.

f^{(n)} (x) = {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{(n - 1)!}{{(1 - x)}^{n}}

A : n = 0 : f^{(0)} \neq f (x)

??

Gruß
combinatori

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

20:10 Uhr, 23.02.2011

Dann fang doch bei

n = 1

an (zumal du dann auch nicht in die Verlegenheit kommst

(- 1)!

zu definieren)

anonymous

20:19 Uhr, 23.02.2011

Ja stimmt

(- 1)! \Leftrightarrow {(- 1)}^{n + 1} .

Aber sollte eigentlich auch nicht die 0-te Ableitung erfüllt sein?

hagman aktiv_icon

21:46 Uhr, 24.02.2011

Du bist durch Berechnen der

1 ., 2 ., 3

. Ableitung auf eine Vermutung über die n-te Ableitung gestoßen und diese ließ sich unter der Voraussetzung

n \geq 1

beweisen.
Es besteht kein Grund, dass deine aufgestellte Vermutung für

n = 0

zutrifft.
Vor dem Beweis bestand auch kein Grund, dass die Vermutung für die

42

. Ableitung zutrifft.

-

Am Ende möchtest du ja eigentlich die Tayloreihe

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

aufstellen.
dabei ist

a_{n} = \frac{f^{(n)} (0)}{n!}

. Somit findest du

a_{n} = \frac{1}{n!} \cdot {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{(n - 1)!}{1^{n}} = \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n}

für

n \geq 1

. Den fehlenden Wert

a_{0} = f (0) = ln (1) = 0

musst du explizit gesondert berechnen (und wärest auch todunglücklich, wenn du auf

a_{0} = \frac{1}{0}

stießest).
Somit lautet die Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}

(also mit Reihenindex ab

1)

anonymous

11:52 Uhr, 28.02.2011

Alles klar, verstehe...vielen Dank!

Grüße
combinatori

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