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Taylor Reihe rückwärts

Universität / Fachhochschule

Tags: Gewinnen einer expliziten Funktion aus einer Taylor Reihe

e60lukas

19:55 Uhr, 31.12.2018

Seit einiger Zeit überlege ich in Umkehrung der Entwicklung von Taylor Reihen, wie sie zu Beginn eines Studiums behandelt werden, ob, und wenn ja wie man aus einer beliebigen konvergierenden Reihe, natürlich unter Beachtung des Konvergenzradius eine explizite Funktion gewinnen kann.

Es scheint so, als gäbe es für manche Reihen Möglichkeiten, denn als ich kürzlich mit leichten Abwandlungen der Exponentialfunktion herumspielte und

\sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{x^{k}}{(2 k)!})

in Wolfram eingab, erhielt ich als Ergebnis

\sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{x^{k}}{(2 k)!}) = cosh (\sqrt{x}),

was mich total erstaunte.

Frage:
Über welche Methoden kann man aus einer (Taylor) Reihe eine explizite Funktion (zurück)gewinnen, wobei es bereits ausrechend wäre, wenn ich einige Literaturhinweise mit zugänglicher Literatur bekäme.

Viele Grüße
EL

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

11:49 Uhr, 01.01.2019

Hallo,
das Problem ist, dass es unendlichviele
analytische Funktionen gibt, von denen nur einige einen eigenen
Namen abbekommen haben, da sie meist in anderen Kontexten bereits
eine wichtige Rolle spielten, z.B.

\cos (x), \exp (x), . . .

Ich möchte dir aber anhand deines Beispiels ein paar Möglichkeiten zeigen,
wie man auf solch eine bereits anderweitig bekannte und "benamste"
Funktion kommen kann:
Sei also

f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k}}{(2 k)!}

.
Wir versuchen zunächst, den Exponenten

k

von

x

dem Nenner

(2 k)!

"irgendwie anzupassen":

f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(\sqrt{x})^{2 k}}{(2 k)!}

.
Mit der Funktion

y (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!}

gilt also

f (x) = y (\sqrt{x})

.
Dies

y (x)

sieht aus wie eine Exponentialreihe, in der die ungeraden Glieder
verschwunden sind. Gibt es eine spezielle Funktion, die sich so benimmt wie

y

?

Versuch 1: wir betrachten die Reihe

\exp (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!} + \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}

.
Das ist eine Aufspaltung der Reihe in einen geraden Anteil, nämlich unser

y (x)

und einen ungeraden Anteil, der bei Ersetzen von

x

durch

- x

sein Vorzeichen
ändert:

\exp (- x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- x)^{k}}{k!} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!} - \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}

.
Addiert man beides, so bekommt man offenbar

\exp (x) + \exp (- x) = 2 y (x)

, d.h.

y (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

.
Diese Funktion hat den Namen

\cosh (x)

bekommen.

Versuch 2 folgt etwas später ...
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

12:32 Uhr, 01.01.2019

Versuch 2:
durch gliedweise Differentiation der Potenzreihe
versuchen wir, eine Differentialgleichung für

y (x)

zu erhalten.
Es ist

y ʹ (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}

und schließlich

y ʺ (x) = y (x)

.
Mit dem Ansatz

y = e^{λ x}

bekommen wir

λ = \pm 1

.
Die allgemeine Lösung ist daher

y (x) = a e^{x} + b e^{- x}

. Wegen

y (0) = 1

und

y ʹ (0) = 0

folgt daraus

y (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = \cosh (x)

.

Ich habe die beiden Vorgehensweisen "Versuche" genannt,
da sie eben nur manchmal auf bekannte Funktionen führen.
Man muss es eben versuchen!

Nimm z.B. folgende Reihe:

f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{a_{k}}{k!} x^{k}

,
wobei

a_{k}

die

k

-te Stelle der Dezimaldarstellung von

π

ist.
Hier hat man keine Chance.

Versuchsmethode 1 eignet sich bei Reihen, deren "Verwandtschaft"
zur Exponentialreihe (auch komplex) oder zu einer geometrischen
Reihe erkennbar ist.

Gruß ermanus

godzilla12 aktiv_icon

13:37 Uhr, 01.01.2019

Ermanus bringt mich da auf eine Idea. Stell dir ein mathematisches Lexikon vor, in dem du alles nachschlagen kannst, " was es gibt "

" Zwei "

: 2,

die gerade Primzahl

Das " gleichseitige Dreieck " : Ein Dreieck mit

α =

= γ = 60

°

Die Normalparabel

f (x) = x

² usw.

Bereits im

19

. Jh. - also lange vor

\to

Kurt Gödel - war bekannt, dass ein solches Lexikon - wie Umfang reich es auch immer sein mag - stets endlich bleiben muss. Niemals wird es beispielsweise möglich sein, eine individuelle Definition für jede beliebige natürliche Zahl zu geben. In diesem Zusammenhang erwähne ich wieder mal mein Lieblingsprojekt, die Nonstandard Analysis

\to (

NSA ; IST ) von

\to

Edward Nelson ( Lehrbuch von Alain Robert bei Wiley )
Nonstandard

n

€

ℕ

sind genau solche Zahlen, die so groß sind, dass sie " jenseits des Ereignishorizonts " liegen; sie sind zu groß, als dass wir sie " uns vorstellen könnten "

" Klein Hänschen; wie weit kannst du schon zählen? "
" bis

20

"
" Und was kommt nach

20

? "
"

21

"
" Und wie viel ist eine Million? "
" keine Ahnung

. .

. "

Kennst du das Grimmsche Märchen von dem Vögelchen und dem Diamantberg? So eine Art

\to

Zen

\to

Koan.
Und Ermanus sagt ja genau das. Nur endlich viele ( analytische ) Funktionen haben Namen.
Du das wäre ein typisches gödelproblem; der hat ja

z . B

. bewiesen, dass es

\to

Diophantische Gleichungen gibt, die algorithmisch nicht lösbaf sind. Weil Gödelisieren bedeutet genau, dass dein PC über einen Formator verfügt, der jede Binärzahl als ASCII String liest. Gödelisieren können schon die Kinder; ein Grundschulwitz

" Sag mal ; wie heißt du? "
" Karl_Egon Eimer der Abwaschbare. "
" Sag mal ' Wie heißt du? ' "
" Wie heißt du? "

Also es gibt eine DioGl. die, als Klartext gelesen, lautet

" Wenn ich lösbar sin sollte, bin ich algoritmisch nicht lösbar

. .

. "

Deshalb meine Frage: Gibt es eine analoge Aussage auch über Taylorreihen? Eine Reihe, für die es nicht möglich ist, den Funktionstyp aus einer ( endlichen ) Mustertabelle anzugeben?

godzilla12 aktiv_icon

15:12 Uhr, 01.01.2019

Ohne Wolfram möcht ich auch net leben. Aber neulich verfolgte ich im Hörfunk ein Referat des philosophischen Besserwissers

\to

Markus Gabriel. Aus dem seinem ganzen Nullgelalle ragte nur eine These heraus; da spitzte ich echt die Ohren:

" Hr. Gabriel; meinen Sie, dass wir Angst haben müssen? Werden KI Roboter eines Tages die Herrschaft über uns übernehmen? "
" Ein typisches Beispiel für das falsche Denken, das ich oben kritisiert habe. Alexa ist ja nichts weiter als ein Haufen SiliziujmChios; Algorithmen entscheiden, in welcher Datei Alexa nach der Antwort suchen muss. Und? Was soll sie machen, wenn sie rein zufällig keine Datei findet? "

Das

\to

chinesische Zimmer hielt ich schon in dem Augenblick für Widerlegt, wo ich erstmals darüber las. Wieder ein Beispiel aus dem Rundfunk

" Magst du Fußball? "
" ja " ( Dieser Antwort fehlt jede

\to

existenzielle Betroffenheit a la

\to

sören Kirkegaard.

) (

Was meint das System mit der Antwort " ja " ? )
" Bist du Fan von Leeds oder Southampton? "
" Leeds "
" Warum? "
" Jeder kann Fan von irgendwas sein

. .

. " ( Hier ohne Witz. Ich kannte mal ein lebendes Fossil; die HEUTE lebende Neandertalerin Christiane Behr. Die gab ganz typisch so antworten. )
" Warum findest du Leeds besser als Southampton? "
" Leeds hat

600000

Ew. "

( Der Hörfunksprecher merkt an, spätestens hier habe der chinesische Test versagt. )

Was ich dir klar machen will. Wolframs Algorithmen sind nämlich kein Deut besser. Nur ein besonders eklatantes Beispiel.
Auf dem ( leider fossilen ) Portal " Lycos " kam am

31

12

2013

folgende Frage

" Hey ich suche die Lösungsmenge der ( diuophantischen ) Gleichung

x y + x + y = 2014; x; y

€

ℕ (1)

"

Ferner beglückte uns Fragesteller mit dem Hinweis, er habe selber schon bei Wolfram nachgesehen. Wolframs Lösungsmenge ist durchaus endlich; beispielsweise

x = 30, y = 64 (

Mir war es beschieden zu beweisen, dass Wolframs Lösungsmenge alles andere als vollständig war. )
Ich hatte mal wieder eine Idea, die sich verallgemeinern lässt; ich nenne sie

\to

hyperpolische Ergänzung in Analogie zur quadratischen Ergänzung:

x y + x + y = 2014 | + 1 (1)

(x + 1) (y + 1) = 2015 (2)

Diese Technik funktioniert immer, wenn du hast "

x y +

Linearkombination aus

x

und

y

" ; effektiv stellt

(2)

die Normalform einer Hyperbel dar. ( Polstellen kannst du direkt ablesen. )
Klar, was du tun musst? Online die Teilermenge von

2015

nachschlagen ( und nicht vergessen, dass auch Minus Mal Minus Plus ergibt. )
Von alldem sagt mir wolfram nichts - man sollte in das System nicht hinein geheimnissen, dass es etwas kennt oder benutzt, was es uns nicht verrät

. .

.
Gegenbeispiel; jemand lernt vollst. Induktion. Er soll zeigen, dass ein spezielles Polynom

p

\forall n | p (n) = 2^{n} (3)

Wolfram kennt auch die Lösungspunkte

n = 2, 3, 4

und 5 . Fragesteller schafft aber den Induktionsschritt nicht

. .

. Und Einstein sprach

" I vill a little tink. "

Schau mal

f (n) := p (n) \cdot 2^{- n} \to \forall n f (n) = 1 (4 a)

Aus

(4 a)

folgt insbesondere

lim_{n \to \infty} f (n) = 1 (4 b)

Widerspruch; Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Schmierzettel

" Die e-Funktion unterdrückt jedes Polynom. "

D . h

. statt

(4 b)

hast du das asyptotische Verhalten

lim_{n \to \infty} f (n) = 0 (4 c)

Identität

()

kann also nur für endlich viele

n

gelten. Wolfram ist offensichtlich ein Fachidiot, der in der Lage ist, für kleine ganze Zahlen eben schnell mal Tests durchzuführen. Hier ist dir das noch nie aufgefallen? Selbst wenn Wolfram eine allgemeine Formel findet, ergänzt er sehr oft;

Integer Solution:

n = 2

obgleich

n = 2

ein ( durcdh nichts ausgezeichneter ) Sonderfall der allgemeinen Formel ist. Fazit: wolfram ist so dumm, dass er nicht mal den Begriff der Verallgemeinerung versteht

. .

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