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Taylor-Reihe(Potenzreihe) und Konvergenzradius

Schüler

Tags: Konvergenzradius, Potenzreihe, Taylorreihe

Mr-Maths aktiv_icon

09:07 Uhr, 09.12.2012

Hallo!

Also naja Potenzreihen sind halt Termer immer weiter gehn etc., also bis unendlich. Vielleicht komisch erklärt, aber irgendwie läufts ja so ab.

Diese Taylor-Reihe ist eine spezielle Potenzreihe, nur mit dieser kann man sin, cos, tan etc. darstellen/annähern richtig?

Aber ich verstehe das nicht, wenn ich jetzt abe sqrt[x+2], welche Reihenformel soll ich da jetzt benutzen?

Es gibt ja quadratische Näherung, lineare Näherung und die bei der Taylor-Reihe. Wie erkenne ich das?

Was haben Potzensreihen für einen Sinn? Was hat die Taylor-Reihe für einen Sinn genau?

Das man einfach eine funktion wie z.B. sin(x) annähern kann, d.h. statt sin(x) einfach die annähernde Funktion zum berechnen nimmt?

Warum setzt man x=0 beim berechnen?

Ich weiß viele Fragen und warhscheinlich auch grundlegende, aber ich hab mir schon ein paar Videos angeschaut, aber ich verstehe das noch immer nicht wirklich.

Letzte Frage: Was ist der Konvergenzradius genau? Konvergiert und diskonvergiet, was bedeutet das genau.

Also eins weis ich, das es einen Zahlenstrahl gibt und die Stelle 0, da gibst dann diese Radien, oder wenn man Real- und Imaginärteil auf eine Achse zeichnet entsteht ein Kreis, innherhalb von den Radien ist es konvergenz und außerhalb diskonvergenz, aber was hat das jetzt zu bedeuten?

Kann mir wer bitte das erklären, das ich es endlich verstehe?

Danke im voraus!

mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Mr-Maths aktiv_icon

13:41 Uhr, 09.12.2012

Bitte hilft mir wer, ist wichtig :-).

prodomo aktiv_icon

09:38 Uhr, 11.12.2012

Ich nehme mal dein Beispiel: "Warum berechnet man nicht einfach direkt

sin (x),

sondern nimmt eine Potenzreihe ?" Gegenfrage:"Wie berechnest du

sin (x)

direkt ?" Biite antworte jetzt nicht:"Mit dem TR, Taste SIN." Ein TR oder Computer kann nur addieren und Multiplizieren, aber das rasend schnell. Man muss also alle Rechnungen darauf zurückführen. Wenn du SIN drückst, läuft in dem TR die Berechnung nach der Potenzreihe ab, die Rechenschritte sind fest "verdrahtet".

Mr-Maths aktiv_icon

17:09 Uhr, 12.12.2012

Danke, aber:

Zeige die Richtigkeit der folgenden Näherung:
sin² t/3 ~ t²/9

Was soll ich jetzt genau machen? Was ist genau dieses t²/9, der Konvergenzradius?

Und wie viele Ableitungen soll ich machen?

Andere Frage:

Ja, Potenzreihe = Taylorreihe = a0 + a1*x + a2*x^2 + ...

Das a0, a1 etc. wäre jetzt in der Taylerreihe Ableitung/Faktorielles.

Warum keine lineare, quadratische, oder kubische Näherung nehmen bei z.B. y=sqrt(x+2)?

Warum gerade Ableitung/Faktorielles für a1, a2 etc. hier ausrechnen?

prodomo aktiv_icon

17:52 Uhr, 12.12.2012

Entwickel die Funktion

f (x) = {(sin (x))}^{2}

x_{0} = 0

herum in eine Taylorreihe.

f' (x) = 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x) = sin (2 \cdot x)

f'' (x) = 2 \cdot cos (2 \cdot x)

f''' (x) = - 4 \cdot sin (2 \cdot x)

f'''' (x) = - 8 \cdot cos (2 \cdot x),

usw.
Jetzt setze

x_{0} = 0

ein:

f (0) = 0

f' (0) = 0

f'' (0) = 2

f''' (0) = 0

f'''' (0) = - 8

Also

f (\frac{t}{3}) = \frac{2}{2!} \cdot {(\frac{t}{3})}^{2} = \frac{t^{2}}{9}

. Das reicht.

Mr-Maths aktiv_icon

18:39 Uhr, 12.12.2012

Ok, danke, aber kann man die Taylorreihe von sin²(x) auch in Summenformel schreiben?

Oder geht das nur bei sin, cos und e? Also ich finds voll schwierig auf eine Summenformel von einer x-beliebigen Reihe zu kommen, gibts da Tricks oder wie geht man da genau vor?

prodomo aktiv_icon

07:34 Uhr, 13.12.2012

Das hat etwas mit dem oft zitierten "Touch" oder "Gespür" für mathematische Gesetzmäßigkeiten zu tun. Bei diesem Beispiel muss auffallen, dass der Faktor vor der

sin -

oder

cos

-Funktion sich immer verdoppelt, das Vorzeichen sich alle 2 Schritte ändert. Da man die Stelle

x_{0} = 0

genommen hat, ist

sin (2 \cdot x) = sin (0) = 0

. Die erste, dritte, fünfte, usw. Ableitung ergibt also 0. Auch

f (0) = 0

. Damit hast du nur noch die zweite, vierte, sechste,..Ableitung.

cos (2 \cdot x) = cos (0) = 1

gilt für alle. Das ergibt
2/(2!)*x^2-8/(4!)*x^4+32/(6!)*x^6....Da die Potenzen in Zweierschritten wachsen, gilt offenbar

x^{2 \cdot n},

wenn man mit 1 beginnt. Die Hochzahlen passen zu den Fakultäten, also

(2 \cdot n)!

. Die Zweierpotenzen

2,8,32 .

= 2^{1}, 2^{3}, 2^{5}, . .

. hinken eins hinterher, also

2^{2 \cdot n - 1}

. Die Vorzeichen sind positiv beim ersten, dritten, usw. Term. Da

{(- 1)}^{n}

für ungerade

n

negativ ist, nimmt man

{(- 1)}^{n + 1}

. Also insgesamt

{sin}^{2} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{2^{2 \cdot n - 1}}{(2 \cdot n)!} \cdot x^{2 \cdot n}

Aber so leicht ist das nicht immer....wie gesagt: "Touch"

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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