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Taylor-Reihen Entwicklung einer Funktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis

anonymous

13:18 Uhr, 09.01.2005

Hallo,

ich habe ein kleines Problem mit den Taylor-Reihen.

Folgende Aufgabenstellung: f(x) = 1/(x^2 + 4)

Entwickeln sie diese funktion als Taylor-Reihe mit dem Entwicklungszentrum

x0 = 0

mit ist nicht so ganz klar, wie ich da vorgehen soll?? Wieviele Ableitungen

muss ich machen? Oder gibt es einen anderen Ansatz?

Verstehe nämlich nicht so ganz, wie ich das mit der k-ten Ableitung machen soll. Alle Beispiele die ich gesehen habe, machen es sich irgendwie einfach wie z.B. mit der e-Funktion bei der alles Ableitung gleich sind oder der Sinus und Cosinus Funktionen bei denen sich die Ableitung nach der 4. Ableitung wiederholen.

Bitte um Hilfe!!!

Vielen Dank

Andy

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

01:25 Uhr, 10.01.2005

naja ich kann dir nur den hinweis geben dass man ja im allgemeinen so eine taylorreihe irgndwann mal abbricht und das restglied berechnet

die abbruchskriterien wärn da recht hilfreich

meistns is das sowas wie

'entwickle eine die funktion zu einer taylorreihe um den punkt(x/y) mit 1/1000 (hausnummer... irgdnwas hier einsetzbar..) ungenauigkeit.'

und im allgemeinen für echte berechnungen (aus der physik,astronomie zb.) reichn meistns die erstn 2 ableitungen... weil dann in der regel das restglied schon vernachlässigbar klein ist (relativ zur messgenauigkeit)

hoffe geholfen zu habn

michi

anonymous

19:47 Uhr, 10.01.2005

Danke für den Tipp, ist auf jedenfall schon einmal ein Hinweis der mich etwas weiter bringt. Aber gerad bei dieser Aufgabe ist keine Angabe über eine Genauigkeit oder ähnliches. Deshalb hab ich auch keine Idee, wie ich weiter machen soll.

Oder gibt da wieder einen "Mathematischen Trick" den ich nicht kenne! ;-)

Andy

-Johannes

13:37 Uhr, 30.03.2008

Dieser Bruch sieht ein bisschen wie die Ableitung des ArcTan aus. Man kann das so machen:

\frac{1}{4 + x^{2}} = \frac{1}{4} \frac{1}{(x / 2)^{2} + 1}

und nun muss man wissen, dass

\arctan (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{k} \frac{x^{2 k + 1}}{2 k + 1}

und dass

\arctan ʹ (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

ist. Diese Summe kann man partiell ableiten und oben verwenden:

\frac{1}{4} \frac{1}{(x / 2)^{2} + 1} = \frac{1}{4} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{k} {(x / 2)}^{2 k}

statt x habe ich einfach

(x / 2)

eingesetzt.

Nun habe ich aber auch ein Problem:
Wenn man so etwas sieht, und sich nicht die Mühe machen will alles einzeln abzuleiten, kann man dann aus der Reihenentwicklung wider die n-te Ableitung gewinnen? Warum funktioniert das nicht:

f (x) = \ln \frac{1}{1 - x} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}

\forall m \in N : \sum_{n = 1}^{m} \frac{x^{n}}{n} = \sum_{n = 1}^{m} \frac{f^{(m)} (x)}{n!} x^{n}

\Rightarrow \frac{x^{n}}{n} = \frac{f^{(m)} (x)}{n!} x^{n}

\Rightarrow f^{(m)} (x) = (n - 1)!

Das Ergebnis ist natürlich falsch.

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