Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Taylorentwicklung mit Restgliedabschätzung

Taylorentwicklung mit Restgliedabschätzung

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Funktionenreihen, taylorreihen

razor85 aktiv_icon

11:35 Uhr, 22.01.2013

Meine Aufgabe:
Berechen Sie das Taylorpolynom 2. Grades

T_{2} (x)

für

f (x) = 1 + \sin (x^{2})

mit dem Entwicklungspunkt

x_{0} = 0

. Berechnen Sie

T_{2} (0, 5)

und

f (0, 5)

.
Bestimmen Sie die Genauigkeit mit Hilfe der Restgliedabschätzung von Lagrange.

Rechenweg:
1.)

(n + 1)

Ableitung und Funktionswert für

f^{n} (x_{0})

bestimmen:

f^{0} (x) = 1 + s i n (x)

f^{0} (x_{0}) = 1

f^{1} (x) = 2 c o s (x^{2}) * x

f^{1} (x_{0}) = 0

f^{2} (x) = - 4 s i n (x^{2}) * x^{2} + 2 c o s (x^{2})

f^{2} (x_{0}) = 2

(n + 1)

Ableitung für das Restglied:

f^{3} (x) = - 8 c o s (x^{2}) * x^{3} - 12 c o s (x^{2}) * x

f^{3} (x_{0}) = 0

Das Taylorpolynom lautet:

T_{2} (x) = 1 + x^{2}

T_{2} (0.5) = 5 / 4

;

f (0.5) = 1.0044

Bis an diese Stelle der Rechnung bin ich gekommen. Wie kann ich aber jetzt das Restglied nach Lagrange aufstellen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

13:22 Uhr, 22.01.2013

Hallo

1)

Ich stimme mit dir bisher überein,
mit Ausnahme der letzten Aussage
"f(0.5)= 1.0044"
Achtung! Die sin-Funktion ist höchstwahrscheinlich im Bogenmaß definiert.
Zumindest stimmen deine Ableitungen oben nur, wenn du von Bogenmaß ausgehst.
Rechne das nochmals nach, und stelle sicher, dass dein Taschenrechner auf Bogenmaß eingestellt ist.

2)

Zum Restglied nach Lagrange musste ich mich auch erst ein wenig schlau machen, unter:
http//de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel

2 . a)

Wenn man die Angabe hier in Wikipedia wörtlich nimmt, dann hast du ja schon korrekt die 3. Ableitung vorbereitet, und erkannt, dass diese NULL ist.
(Nebenbemerkung: Die Original-sin-Funktion ist eine gerade Funktion. Deshalb sind alle ungeraden Ableitungen =NULL)
Wenn man also das Restglied so wörtlich verstünde, so ist auch das Restglied = NULL.

2 . b)

Wenn man dagegen die Aufgabe "Bestimmen Sie die Genauigkeit..." ernst nimmt, dann würde ich noch die vierte Ableitung, und damit eben das nächst folgende nicht verschwindende Glied nutzen, um die Abweichung von

T_{2} (x)

gegenüber

f (x)

einzuschätzen.

razor85 aktiv_icon

14:33 Uhr, 22.01.2013

Hallo,
habe den Rechner ist jetzt richtig eingestellt und ich erhalte für

f (0.5) = 1

;-)

Nun noch zum Restglied. Da die 3. Ableitung Null wird habe ich nun die 4. Ableitung für die Restgliedabschätzung genommen.

f^{4} (x) = 16 s i n (x^{2}) * x^{4} - 24 c o s (x^{2}) * x^{2} + 24 s i n (x^{2}) x^{2} - 12 c o s (x^{2})

f^{4} (x_{0}) = - 12

Restglied aufstellen:

R_{4} (x) = - 12 / 4! * x^{4} = - 1 / 2 * x^{4}

Fehlerabschätzung bei

x_{0} = 0.5

R_{4} (0.5) = - 1 / 32

anonymous

16:03 Uhr, 22.01.2013

Überleg noch mal in Ruhe:
f(0.5)=1+sin(0.5²)=...

Dann sollte nämlich die Restgliedabschätzung auch irgendwie (ungefähr) zur Differenz

K_{2} (0.5)

gegenüber

f (0.5)

passen...

razor85 aktiv_icon

18:53 Uhr, 23.01.2013

Danke habe die Lösung jetzt.
:-)

1067914

1067457

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?