Taylorentwicklung ohne Ableitung

Hallo,

ich möchte gerne die Taylorentwicklung für ${\displaystyle {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}}}$ um den Punkt ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0=2}$ angeben ohne Hilfe der Ableitung.

Die Reihe ${\displaystyle {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}!}=1+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\frac{1}{2}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\frac{1}{6}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3+\frac{1}{24}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4+\mathrm{...}}$ ist bekannt

Für ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0=2}$ wäre das ja für ${\displaystyle {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=1+(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)+\frac{1}{2}{(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)}^2+\frac{1}{6}{(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)}^3+\mathrm{...}}$

Da ich meine Reihe ja für ${\displaystyle {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}}}$ entwicklen soll, kann ich dann einfach hergehen und für x einfach ${\displaystyle \frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}}$ in die Taylorreihe für ${\displaystyle {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ einsetzen?

Also quasi: ${\displaystyle {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}}=1+(\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}-2)+\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}-2{)}^2+\frac{1}{6}(\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}-2{)}^3+\mathrm{....}}$

Ist das so korrekt?

Für Hilfe bedanke ich mich im vorraus!