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Taylorpolynom

Schüler

Tags: Taylor

gonnabeph aktiv_icon

12:26 Uhr, 28.10.2014

Hallo, ich habe die Aufgabe:
Gegeben sei

f (x) = \frac{1}{x^{12}} - \frac{1}{x^{6}}

.
1) Bestimmen Sie das Minimum der Funktion
2) Entwickeln Sie

f (x)

in einer Taylorreihe um das Minimum der Funktion bis zu den Termen der Ordnung

x^{2}

.

Meine Ideen:

Ich habe das Minimum bestimmt indem ich die Nullstellen der ersten Ableitung berechnet habe.

f ʹ (x) = - 12 x^{- 13} + 6 x^{- 7}

- 12 x^{- 13} + 6 x^{- 7} = 0

Ich bin auf

x_{1} = 2^{1 / 6}

und

x_{2} = - 2^{1 / 6}

Anschließend habe ich mit der zweiten Ableitung überprüft ob es sich um ein Minimum handelt. Die Sache ist nun, es sind beides Minima ... ist es jetzt egal in welchen Punkt ich entwickle?

Ich habe einfach mal in

x_{0} = 2^{1 / 6}

entwickelt und komme auf das Taylorpolynom:

T_{2^{1 / 6}, 2} = - \frac{1}{4} + \frac{36 \cdot 2^{2 / 3} - 1}{8} \cdot (x - 2^{1 / 6})^{2}

Kann das jemand bestätigen und ist es egal ob ich in

x_{1}

oder

x_{2}

entwickle?

Besten Dank! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

forecore aktiv_icon

14:02 Uhr, 28.10.2014

Das Taylorpolynom ist fast richtig, lediglich woher die

- 1

im Zähler des Bruches kommen soll, musst doch noch einmal überprüfen.

Zum Thema

x_{2}

:
Da deine Funktion symmetrisch ist und somit auch in der zweiten Ableitung deine Entwicklungsstelle immer geradzahlig potenziert wird, wäre die einzige Änderung, dass am Ende

" . . . \cdot (x + 2^{1 / 6})^{2} "

steht. Der Rest bleibt komplett unverändert. Auf Grund der Formulierung der Aufgabenstellung (Singular), würde ich maximal schreiben: "äquivalent für

x_{2}

" und dann noch das Ergebnis (aber ich bin auch faul).

gonnabeph aktiv_icon

14:05 Uhr, 28.10.2014

Alles klar, kurz und schmerzlos! ;-)

Besten Dank!

forecore aktiv_icon

14:15 Uhr, 28.10.2014

Vielleicht noch als kleiner Nachttrag:

Die Gleichung hat übrigens die Form des Lennard-Jones-Potentials, was vereinfacht gesagt die Wechselwirkung zwischen 2 Teilchen in Abhängigkeit vom Abstand angibt. Der Minimumabstand wird von den Teilchen favorisiert, weil es der energieärmste Zustand ist. en.wikipedia.org/wiki/Lennard-Jones_potential
Eventuell wurde die Aufgabe mit diesem Hintergedanken gestellt und deswegen hätte ein negatives

x

(=negativer Abstand) nicht unbedingt Sinn.

gonnabeph aktiv_icon

14:30 Uhr, 28.10.2014

Ja genau, das war auch der Hintergedanke der Aufgabe.

Gruß! :-)

gonnabeph aktiv_icon

15:19 Uhr, 28.10.2014

Ich habe doch noch eine Frage und zwar wie kann ich am besten die beiden Funktionen in ein Koordinatensystem einzeichnen? Ich meine für kleine Werte nimmt

f (x)

schon sehr große Zahlen an so das es ziemlich schwierig ist die Funktion zu zeichnen. Hast du einen Tipp? :-)

forecore aktiv_icon

16:16 Uhr, 28.10.2014

Wenn du beide Seiten der Funktion darstellen willst vielleicht so:

gonnabeph aktiv_icon

16:28 Uhr, 28.10.2014

Es geht eher um die Achseneinteilung. Ich muss das ganze selber zeichnen.
Wenn ich diverse Werte einsetze ist das ja nicht praktikabel so zu zeichnen. Wie soll man dort denn am besten die Achsen einteilen?

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