Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Taylorpolynom 4.Grades cos (x), Fehler

Taylorpolynom 4.Grades cos (x), Fehler

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Taylor Approximation

AlexGe aktiv_icon

18:23 Uhr, 08.02.2018

Hallo! Ich habe folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie das Taylorpolynom 4.Grades für

f (x) = cos (x)

um den Entwicklungspunkt

x 0 = 0

.

Berechnen Sie mit Hilfe dieses Taylorpolynoms näherungsweise den Funktionswert an der Stelle

x =

10° und bestimmen Sie anschließend die Genauigkeit mit Hilfe der Restgliedabschätzung von Lagrange. (Hinweise: Für die Restgliedabschätzung den sin bwz. con betragsmäßig mit 1 abschätzen).

Ich habe folgende Berechnungen durchgeführt:

Ableitungen berechnen:

f (x) = cos (x)

f' (x) = - sin (x)

f'' (x) = - cos (x)

f''' (x) = sin (x)

f'''' (x) = cos (x)

f''''' (x) = - sin (x)

T (x) = cos (x) + - \frac{sin (x)}{1!} \cdot x + - \frac{cos (x)}{2!} \cdot x 2 + \frac{sin (x)}{3!} \cdot x 3 + \frac{cos (x)}{4!} \cdot x 4 \Rightarrow 1 - x \frac{2}{2} + x \frac{4}{24}

von Gradmaß in Bodenmaß umrechnen:

10°/180°

\cdot Π = 0,1745, \Rightarrow 0,555

von

Π

x \frac{5}{5!} = 0,00044

T 4 (0,5555) = x \frac{0}{0!} - x \frac{2}{2!} + x \frac{4}{4!} = 1 - (\frac{0,55552}{2}) + (\frac{0,55554}{24}) = 4,8

So ich hab das Gefühl, dass ich etwas mit dem Restglied und Fehlerabschätzung nicht richtig gemacht hab. Ich wäre sehr dankbar für Ihre Hilfe und Korrektur.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DrBoogie aktiv_icon

18:26 Uhr, 08.02.2018

"So ich hab das Gefühl, dass ich etwas mit dem Restglied und Fehlerabschätzung nicht richtig gemacht hab."

Auch Dein Taylor-Polynom ist falsch. Genauer gesagt, was Du geschrieben hast, ist gar kein Polynom.
Kuck noch mal auf die Formel von dem Polynom.

AlexGe aktiv_icon

19:00 Uhr, 08.02.2018

Danke) Hab Formel nochmal geguckt und geprüft.

So habe ich bekommen:

f (0) = cos (0) = 1

f' (0) = - sin (0) = 0

f'' (0) = - cos (0) = - 1

f''' (0) = sin (0) = 0

f'''' (0) = cos (0) = 1

T (x) = 1 - \frac{1}{2} \cdot x^{2} + \frac{1}{24} \cdot x^{4}

Oder was hab ich nicht genau verstanden?

DrBoogie aktiv_icon

19:09 Uhr, 08.02.2018

Ja, jetzt ist das Polynom richtig.
Aber die Restgliedabschätzung von Lagrange musst Du noch machen, das hast Du noch nicht gemacht.
de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel#Restgliedabschätzung

AlexGe aktiv_icon

19:22 Uhr, 08.02.2018

Danke, mit dieser Restglied-Aufgabe hab ich noch Probleme, bin ein wenig verwirrt.

Hier ist was ich berechnet hab:

f'''' (x) = - sin (x)

R 4 cos (x; 0)

=f''''(ξ)/(5!)

= - \frac{sin (x)}{120} \cdot x^{5}

DrBoogie aktiv_icon

19:29 Uhr, 08.02.2018

Es kann doch nicht links

f^{(5)} (ξ)

stehen und rechts

f^{(5)} (x)

(bei Dir steht dann sogar die 4-te Ableitung, was falsch ist). Außerdem steht links kein

x^{5}

, aber rechts doch.

Richtig ist

f^{(5)} (ξ) x^{5} / 5!

und dann muss man Maximum über alle

ξ

aus dem Bereich

[0, x]

bestimmen. Wobei statt

x

musst Du Deinen Wert nehmen, also

π / 18

. Was übrigens nicht

0.555

ist, keine Ahnung, wie Du auf

0.555

kommst.

ledum aktiv_icon

19:35 Uhr, 08.02.2018

Hallo
erst schreibst du noch richtig

ξ

setzt dann aber

x

ein. für die Abschätzung musst du das maximum von

f'''' (ξ)

im Intervall

x_{0}

bis

x

einsetzen. hier hast du zufällig das richtige

max

nämlich bei

ξ = x

genommen, also nur noch einsetzen.
Gruß ledum

AlexGe aktiv_icon

20:08 Uhr, 08.02.2018

Hm, hab ich richtig verstanden?

Für ξ

= 0 \Rightarrow \frac{- sin (\frac{Π}{18}) \cdot 0 \cdot \frac{Π}{18}}{5!} = \frac{- 0,179 \cdot 0 \cdot 0,174}{120}

?

Für ξ

= 1 \Rightarrow \frac{- sin (\frac{Π}{18}) \cdot 1 \cdot \frac{Π}{18}}{5!} = \frac{- 0,179 \cdot 1 \cdot 0,174}{120}

Roman-22

20:40 Uhr, 08.02.2018

>

Hm, hab ich richtig verstanden?
Nein!
Lies dir doch nochmals die Theorie dazu gründlich durch und versuche, den Überblick zu behalten, welche Bedeutung die einzelnen Variablen

(x, a

oder

x_{0}, ξ, .)

haben!
Du bist recht schlampig in der Art, wie du die Dinge aufschreibst und verwirrst dich offenbar damit selbst.
Ganz zu Beginn schreibst du

T (x) = cos (x) + - \frac{sin (x)}{1}! \cdot x ...

. und das ist Unfug!
Richtig wäre

T_{4} (x) = cos (0) - \frac{sin (0)}{1}! \cdot x ... .,

denn in deine Ableitungen muss die Entwicklungsstelle

a = 0

eingesetzt werden (und zwei Vorzeichen dürfen nie einfach so

+ -

zusammenstoßen - entweder Klammern setzen oder gleich das richtige Vorzeichen).

Dann rechnest du den Winkel 10° richtig ins Bogenmaß um

(\frac{π}{18} \approx 0,1745)

und schreibst dann aber " ⇒0,555 von Π " und rechnest mit diesem nutzlosen Wert

0,555

weiter.
Die Stelle, an der du die Näherung berechnen und den Fehler abschätzen sollst ist

\frac{π}{18}!

> x \frac{5}{5}! = 0,00044

Was wolltest du uns damit sagen? Dass man eine Hochzahl mit dem Zirkumflex "^" schreibt, hast du ja inzwischen bemerkt, glaube ich. Aber was soll dieser Ausdruck und warum steht links ein

x

und rechts nicht mehr, ohne dass du angibst, was du und warum für

x

einsetzt?

> T 4 (0,5555) = x 00! - x 22! + x 44 \neq 1 - (0,555522) + (0,5555424) = 4,8

abgesehen davon, dass du vorhin nur

T (x)

definiert hast und kein

T 4 (x)

und dass du den falschen Wert

0,5555

(soll wohl

\frac{1}{18}

sein) einsetzt, hast du auch noch kollossal falsch gerechnet, denn selbst mit dem falschen x-Wert müsste da ein Ergebnis knapp unter 1 rauskommen.

Also setze in

T_{4} (x) = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24}

den richtigen Wert ein und rechne das richtig aus.

Und jetzt zur Restgliedabschätzung (ich schreibe jetzt gleich anstelle des allgemeinen

x

deinen konkreten Wert

\frac{π}{18}) :

Lagrange erklärt dir nur, dass es in

[0; \frac{π}{18}]

einen Wert

ξ

gibt, mit dem der Ausdruck

- \frac{sin (ξ)}{5!} \cdot {(\frac{π}{18})}^{5}

genau das Restglied ergibt. Welches

ξ

das sein könnte, kann er dir nicht verraten, denn dann wüssten wir ja

cos (10^{\circ})

ganz genau und könnten uns Taylor, etc. sparen.
Aber die Erkenntnis von Lagrange können wir nutzen, um die Genauigkeit unserer Näherung besser einschätzen zu können, indem wir versuchen, den Ausdruck für das Restglied

- \frac{sin (ξ)}{5!} \cdot {(\frac{π}{18})}^{5}

betragsmäßig nach oben abschätzen. Dass der Ausdruck umso größer wird, je größer

sin (ξ)

wird, ist dir sicher klar und somit ist wegen

ξ \in [0; \frac{π}{18}]

auch klar, dass sich der (betragsmäßig) größte Wert bei

ξ = \frac{π}{18}

einstellen würde. Allerdings kennst du den

sin (\frac{π}{18})

ja nicht und kannst ihn daher nicht direkt einsetzen.
Ich würde hier daher mit

sin (ξ) \leq sin (\frac{π}{18}) < sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

abschätzen, aber deine Angabe gestattet dir sogar, mit

sin (ξ) < 1

abzuschätzen.
Damit solltest du auf eine Obergrenze (betragsmäßig, eigentlich ist es eine Untergrenze, da unsere Näherung etwas zu groß und der Fehler daher negativ ist) von

- 1,350 \cdot 10^{- 6}

kommen.
Hättest du meine Abschätzung mit

sin (\frac{π}{6})

verwendet, hättest du den Fehler sogar mit

- 6,748 \cdot 10^{- 7}

abschätzen können.

Nebenbemerkung: Da die Reihe alternierende Vorzeichen hat, könnte man den Fehler auch mit dem Wert des ersten vernachlässigten Glieds abschätzen (deine Angabe verlangt aber explizit Lagrange) und erhält die noch bessere Abschätzung

- 3,926 \cdot 10^{- 8}

. Das kommt dem tatsächlichen Fehler

- 3,924 \cdot 10^{- 8}

schon verdammt nahe.

AlexGe aktiv_icon

21:50 Uhr, 08.02.2018

Vielen Dank für Ihre Erklärungen) Sie haben recht , dass ich mich verwirrt habe.

Ich werde dieses Thema nochmal unbedingt erneut üben und mehr Theorie lesen. Ich verstehe, wofür man das alles braucht, war aber wegen Formeln zu verwirrt.

Ich habe

T (4)

berechnet:

T (4) = 1 - \frac{1}{2} \cdot x^{2} + \frac{1}{24} \cdot x^{4}

x = \frac{Π}{18} = 0,174

T (4) = 1 - \frac{1}{2} \cdot {0,174}^{2} + \frac{1}{24} \cdot {0,174}^{4} = 0,9850

Obere Schranke für

| f''''' (x) |

im Intervall

[x 0, x] = [0, \frac{Π}{18}]

f''''' (x) = | - sin (x) | = | sin (x) | C = 1

(Grobe Abschätzung)

| R 5 (x) | = \frac{C}{5}! {| x - x 0 |}^{5} = \frac{1}{120} \cdot {(0,174)}^{5} = 1,38 X 10^{- 6}

Ich habe auch Ihre Variante mit

\frac{Π}{6}

berechnet)

Roman-22

22:21 Uhr, 08.02.2018

>

Ich habe

T (4)

berechnet:

>

T(4)=1-12⋅x2+124⋅x4
Nein! Das ist

T_{4} (x)!!!

>

T(4)=1−12⋅0,1742+124⋅0,1744=0,9850
Nein! Wenn du mit so grob gerundeten Werten weiter rechnest, dann erübrigt sich doch jede Fehlerabschätzung. Rechne doch bitte mit

\frac{π}{18}!

T (4) \approx 0,984807792249

und auf vier Nachkommastellen gerundet ist das immer noch

0,9848

>

Obere Schranke für |f′′′′′(x)| im Intervall

[

x0,x]=[0,Π18]
Du meinst für

| f^{(5)} (ξ) |

mit

ξ \in [0; \frac{π}{18}],

aber die Anzahl der Ableitungsstriche war diesmal immerhin richtig ;-)

> f''''' (x) = | - sin (x) | = | sin (x) | C = 1

(Grobe Abschätzung)
Nein! Wenn, dann bereits zu Beginn Beragsstriche und keine Gleichheitszeichen, wenn du in Wirklichkeit abschätzt - aber was soll das C?

| f^{(5)} (ξ) | = | - sin (ξ) | = | sin (ξ) | \leq 1

(wegen

ξ \leq \frac{π}{18} < \frac{π}{2}

könnte man auch

< 1

schreiben)

>

|R5(x)|=C5!|x-x0|5=1120⋅(0,174)5=1,38X10-6
= und

\leq

oder

<

beachten! Und nicht einfach Werte vom Himmel fallen lassen und anstelle von

x

einsetzen

| R_{5} (x) | = | - \frac{sin (ξ)}{5!} \cdot {(x - 0)}^{5} | \leq \frac{1}{5!} \cdot x^{5}

wegen

| sin (ξ) | \leq 1

| R_{5} (\frac{π}{18}) | \leq \frac{1}{5!} \cdot {(\frac{π}{18})}^{5} \approx 1,3496 \cdot 10^{- 6}

Es wäre hier aber vermessen und auch falsch, wenn du behaupten würdest, dass dein grob gerundetes Ergebnis

0,9850

nur einen Fehler von

max 1,4 \cdot 10^{- 6}

aufweisen würde.
Dazu musst du schon mit genauen Werten rechnen und auch entsprechend viele Nachkommastellen angeben.

>

Ich habe auch Ihre Variante mit Π6 berechnet)
bedeutet ja auch nur eine Division des vorigen Ergebnisses durch 2 ;-)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1414114

1414067

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?