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Taylorpolynom Restglied mit Reihe vergleichen

Schüler

Tags: Restglied, Taylor

anja133 aktiv_icon

19:38 Uhr, 01.02.2021

Ich soll das Restglied eines Taylor-Polynoms zweiter Ordnung abschätzen

Wie kommt man auf die Lösung bzw., wenn da steht

R 2 \cdot

mal die Reihe, dann müsste man doch das ganze Paket (also die dritte Ableitung durch Fakultät

3 \cdot x^{3})

multiplizieren und wie kommt man auf dieses

\frac{1}{3} x^{3}

?

Würde mich freuen, wenn mir hier jemand mit den einzelnen Rechenschritten weiterhelfen könnte, weil die Lösung nicht so viel hergibt.

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

20:23 Uhr, 01.02.2021

Hier wird die Restgliedformel von Lagrange verwendet.
Diese besagt, dass in deiner Aufgabe das Restglied

R_{2} (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{6}}{6} \pm . .

. auch als

R_{2} (x) = \frac{\frac{2}{{(1 + ξ)}^{3}}}{3!} \cdot x^{3}

geschrieben werden kann, dass also ein

ξ \in (0; x)

existiert, sodass dieser Ausdruck genau das Restglied ergibt. Natürlich wissen wir nicht, welchen Wert genau

ξ

hat, aber wegen

ξ \in (0; x)

und

x \in (0; 1)

lasst sich die Abschätzung

\frac{1}{{(1 + ξ)}^{3}} < 1

machen.

anja133 aktiv_icon

21:07 Uhr, 01.02.2021

Ja, aber wieso genau multipliziert man

R 2

mit der Reihe?
Und wie formt man das ganze um, sodass es mit der Lösung übereinstimmt?

Roman-22

21:16 Uhr, 01.02.2021

>

Ja, aber wieso genau multipliziert man

R 2

mit der Reihe?
Was meinst du damit?

R 2

wird doch nirgends mit einer Reihe multipliziert??

Wenn du die letzte Zeile in der Lösung meinst, dann ist das doch der Ausdruck aus der Angabe, der Abgeschätzt werden soll.
Vielleicht ist dir nicht bewusst, dass

R_{2}

eine Funktion von

x

ist, also ein

R_{2} (x)

und

x

ist die Stelle in

(0; 1),

an der die Taylorreihe ausgewertet wird.
Und es wurde gezeigt, dass

R_{2} (x) \leq \frac{1}{3} x^{3}

ist.

Im Ausdruck, der abgeschätzt werden soll, bedeutet

R_{2} (\frac{1}{2^{k}})

keine Multiplikation, sondern ein "

R_{2}

von

\frac{1}{2^{k}}

". Ausgeschrieben soll die Reihe

R_{2} (\frac{1}{2}) + R_{2} (\frac{1}{4}) + R_{2} (\frac{1}{8}) + . .

. abgeschätzt werden und da wird dann eben jeder Summand abgeschätzt durch

R_{2} (\frac{1}{2^{k}}) \leq \frac{1}{3} \frac{1}{8^{k}}

und damit kommt man dann auf eine geometrische Reihe, für die man eine Summenformel kennt.

anja133 aktiv_icon

21:36 Uhr, 01.02.2021

R 2

wäre ja die Restgliedfunktion.

Ich würde die Gleichung folgendermassen aufstellen

\frac{| f''' (ξ) |}{3!} \cdot x^{3} \leq \frac{1}{21}

Und das passiert in der Lösung zwar auch, aber dann passieren gewisse Rechenschritte, die ich nicht mehr nachvollziehen kann.

Ist dieses

\leq \frac{1}{3} x^{3}

einfach eine Umformung der oberen Formel?

Woher weiss man, dass

x

ein Element aus

[0,1]

ist?

Muss man schlussendlich für

x, 1

einsetzen und dann

\frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} \leq \frac{1}{21}

vergleichen?

Roman-22

23:07 Uhr, 01.02.2021

>

Ich würde die Gleichung folgendermassen aufstellen

>

|f′′′(ξ)|3!⋅x3≤121

Nein! Das ist NICHT zu zeigen. Eine Abschätzung für das Restglied ist mit

R_{2} (x) \leq \frac{1}{3} \cdot x^{3}

ja bereits vorgenommen.

Die

\frac{1}{21}

sind als obere Schranke für eine komplett andere unendliche Reihe zu zeigen, nämlich für

\sum_{k = 1}^{\infty} R_{2} (\frac{1}{2^{k}})

. Und in dieser Reihe wird eben jedes

R_{2} (\frac{1}{2^{k}})

entsprechend mit

R_{2} (\frac{1}{2^{k}}) \leq \frac{1}{3} \cdot {(\frac{1}{2^{k}})}^{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8^{k}}

abgeschätzt.

>

Woher weiss man, dass

x

ein Element aus

[0,1]

ist?
Die Restgliedabschätzung macht ja nur Sinn an jenen Stellen, an denen die Taylorreihe konvergiert und der Konvergenzradius der Reihe ist hier 1. daher ist die ganze Betrachtung nur für

x \in (- 1; 1]

sinnvoll.

In dem Ausdruck, der laut Angabe mit

\frac{1}{21}

nach oben abgeschätzt werden soll, werden aber nur die positiven Werte

\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, . .

. eingesetzt, weshalb die Abschätzung von

R_{2} (x)

auf

x \in [0; 1]

beschränkt wurde und man somit die ganze Beträge weglassen konnte.

>

Muss man schlussendlich für

x,1

einsetzen und dann 13⋅(1)3≤121 vergleichen?
Nein, was genau meinst du. Zum "Schluss" wird

\sum_{k = 1}^{\infty} R_{2} (\frac{1}{2^{k}})

abgeschätzt. Da gibt es doch kein

x

mehr! In

R_{2} (x)

wird der Reihe nach für

x = \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; . .

. eingesetzt und die Summe gebildet!

anja133 aktiv_icon

23:42 Uhr, 01.02.2021

Wieso wird in dieser Reihe mit

\frac{1}{3} \cdot {({(\frac{1}{2})}^{k})}^{3}

abgeschätzt, woher kommt das bzw. woher weiss ich, dass das

x \in \frac{1}{3} x^{3}

sozusagen als Substitut für

{(\frac{1}{2})}^{k}

steht??

Und wie kann man den Konvergenzradius berechnen oder gibt es da einen einfachen Trick, wie du drauf gekommen bist?

Roman-22

00:14 Uhr, 02.02.2021

>

Wieso wird in dieser Reihe mit 13⋅((12)k)3 abgeschätzt

Na, weil doch (mithilfe

v

. Lagrange) gezeigt wurde, dass

R_{2} (x) \leq \frac{1}{3} \cdot x^{3}

gilt

Und wenn nun das Glied der neuen, abzuschätzenden Reihe

R_{2} (\frac{1}{2^{k}})

lautet, dann setzte in diese Abschätzung einfach

x = \frac{1}{2^{k}}

ein und du erhältst

R_{2} (\frac{1}{2^{k}}) \leq \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8^{k}}

. Und das gilt in dieser Reihe nun für jedes Glied, nur eben mit einem anderen

k

.

ich habe das Gefühl, dass dir immer noch nicht ganz klar ist, wie die Reihe, die du mit

\frac{1}{21}

nach oben abschätzen sollst, aufgebaut ist. Diese Reihe hat im Grunde mit der Taylorreihe von

ln (x + 1)

wenig zu tun. Doch die Glieder dieser Reihe bestehen aus den Restgliedern der Taylorreihe, wenn man der Reihe nach für

x

die Werte

\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8},

etc. einsetzt. Und da wir eine Abschätzung für dieses Restglied kennen, können wir damit jedes einzelne Glied dieser Reihe damit abschätzen.

>

Und wie kann man den Konvergenzradius berechnen oder gibt es da einen einfachen Trick, wie du drauf gekommen bist?

Bei den Talorreihen für

ln (. .)

weiß man, dass der Konvergenzradius von der Entwicklungsstelle bis 0 geht.

Die Reihe für

ln (x + 10)

an der Entwicklungsstelle

x_{0} = 0

hat den Konvergenzradius

10

. Untersucht man nun noch die Grenzen, so sieht man, dass sie für

x \in (- 10; 10]

gültig ist, also die Funktion darstellt. Um sie praktisch verwenden zu können müsste man allerdings

ln (10)

kennen :-)

und die Reihe für

ln (x + 1)

entwickelt an der Stelle

\times_{0} = 1

ist eben konvergent für

x \in (- 1; 1]

.

Wenn man den Konvergenzradius nicht kennt, muss ihn eben zB unter Verwendung des Quotientenkriteriums berechnen.

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