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Taylorreihe Konvergenzradius

Schüler

Tags: Konvergenzradius, reih, Taylorreihe

Gomox aktiv_icon

19:24 Uhr, 03.04.2015

Hallo :-) Ich soll die Funktion

f (x) = cos (x)

an der Stelle PI/3 als Taylor-Reihe entwickeln.

Die Entwicklung hat auch funktioniert, aber es fehlt noch der Konvergenzradius. Ich finde einfach nicht die Summe heraus, um das Quotientenkriterium anwenden zu können.

Kann mir jemand helfen? :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

19:45 Uhr, 03.04.2015

Hallo,

zunächst ist ja der Koeffizient

a_{k} = \frac{f^{(k)} (x_{0})}{k!}

Das Problem ist jetzt, dass es keine einfache formelmäßige Beschreibung von

f^{(k)} (x_{0})

gibt. Da kannst Du auch so vorgehen: Jede Zahl

k \in ℕ

hat eine Darstellung

k = 4 \cdot m + i

mit

i = 0,1,2,3

.

Dann ist

f^{(4 \cdot m + i)} (x_{0}) = q_{i}

mit

q_{0} = 0.5, q_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{2}, q_{2} = - 0.5, q_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Für das Quotienenkriterium musst Du dann auch 4 Fälle unterscheiden.

Das ist zwar nicht sehr elegant, aber so gehts.

Gruß pwm

Respon

08:42 Uhr, 05.04.2015

Die Reihe läßt sich auch so schreiben:

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} \cdot {(x - \frac{π}{3})}^{n} \cdot sin [\frac{π}{6} \cdot (1 + 3 \cdot n)]}{n!}

Der Quotiententest müsste eigentlich ergeben, dass die Reihe überall konvergiert.

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