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Taylorreihe arcsin

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

Kattauer aktiv_icon

17:10 Uhr, 07.02.2010

Heyho,

ich sitze gerade an der Taylorreihe vom arcsin. Mein Plan sieht wie folgt aus:

1. Ableitung vom arcsin bilden

\to f' (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

2. Taylorreihe der Ableitung mithilfe der binomischen Reihe bestimmen, fast fertig
3. Diese Reihe dann integrieren, dürfte dann relativ einfach sein

Bisher:

f(x)=arcsin(x)

f' (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

wie oben erwähnt

mithilfe der binomischen Reihe:

{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) {(- x^{2})}^{n}

daher hab ich für das

x

in der binomischen Reihe einfach

- x^{2}

eingesetzt

da

(\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) {(- x^{2})}^{n} = \frac{(- \frac{1}{2}) (- \frac{3}{2}) (- \frac{5}{2}) \cdot ... \cdot (- \frac{2 n - 1}{2})}{(n!)} {(- x^{2})}^{n} = {(- 1)}^{n} \frac{(2 n - 1)!!}{2^{n} (n!)} {(- x^{2})}^{n} = \frac{(2 n - 1)!!}{2^{n} (n!)} x^{2 n}

die alternierenden Elemente heben sich zum Schluss auf.

€:

\frac{(2 n - 1)!!}{2^{n} (n!)} x^{2 n} = \frac{\frac{(2 n)!}{2^{n} n!}}{2^{n} (n!)} x^{2 n} = \frac{(2 n)!}{2^{2 n} {(n!)}^{2}} x^{2 n} = \frac{(2 n)!}{(2 n)!!^{2}} = \frac{(2 n - 1)!!}{(2 n)!!} x^{2 n}

So, jetzt muss ich die Umformungen noch noch richtig verstehen ;-)

Integrieren

\to

fertig

Was ein schöner Sonntag

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Alx123 aktiv_icon

18:42 Uhr, 07.02.2010

Hallo,
an der Stelle wo du den Binomialkoeffizient mit Hilfe von Fakultäten beschreiben willst, hast du ein Fehler gemacht. Wenn du die

\frac{1}{2}

und die

- 1

aus den Produkt ziehst, hast du eine Multiplikation von ( nur ) ungeraden Zahlen. Das kannst du nicht als Fakultät zusammenfassen, da fehlen doch noch die geraden Zahlen für.