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Taylorreihe e^(-x^2)

Universität / Fachhochschule

Tags: Taylorreihe

student81 aktiv_icon

19:14 Uhr, 07.09.2015

Hallo zusammen,

kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Wie gehe ich da ran?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

20:42 Uhr, 07.09.2015

Nimm die Reihendarstellung für

e^{y}

e^{y} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{y^{n}}{n!}

(falls sie nicht bekannt vorausgesetzt werden kann, ist sie leicht zu zeigen).

Dann mit

y = - x^{2}

hast Du die Reihendarstellung für

e^{- x^{2}}

.

Und dann integriert man "summandenweise", also nach dem Muster

\int \sum a_{n} x^{n} d x = \sum a_{n} \int x^{n} d x

. Das dies erlaubt ist, muss man theoretisch noch begründen (absolute gleichmäßige Konvergenz), aber ich weiß nicht, ob das bei Euch wirklich gefragt ist.

student81 aktiv_icon

10:47 Uhr, 08.09.2015

Okay also ich komme dann auf

e^{- x^{2}} =

Summe

\frac{- x^{2 n}}{n!}

und nach dem integrieren auf

\frac{- 1^{2 n}}{n! \cdot (2 n + 1)}

DrBoogie aktiv_icon

11:02 Uhr, 08.09.2015

Es muss heißen

(- x^{2})^{n}

im Zähler, was nicht

- x^{2 n}

ist, sondern

(- 1)^{n} x^{2 n}

student81 aktiv_icon

11:44 Uhr, 08.09.2015

Ja stimmt und das

n!

Fakultät bleibt beim integrieren einfach stehen?

Also wäre das Integral dann

\frac{- 1^{n}}{(2 n + 1) \cdot n!}

DrBoogie aktiv_icon

11:50 Uhr, 08.09.2015

Nicht

- 1^{n}

, sondern

(- 1)^{n}

. Ohne Klammern ist es falsch, denn

- 1^{n} = - 1

für alle

n

. Potenzieren geht vor Vorzeichen.

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