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Taylorreihe für x*sin(x) bilden Fallunterscheidung

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Taylorreihe

asg-2014 aktiv_icon

15:10 Uhr, 04.02.2015

Hallo zusammen,

meine Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie die Taylorreihe von

f (x) = x s i n (x)

für

x_{0} = 0

.
Berechnen Sie dazu die ersten vier Ableitungen und schließen Sie auf alle weiteren.

Meine Lösung:

Ich habe die vier Ableitungen für

f^{(k)}

mit

0 < = k < = 4

gebildet und dabei festgestellt, dass die Werte alternieren:

f^{(0)} = 0

f^{(1)} = 0

f^{(2)} = 2

f^{(3)} = 0

f^{(4)} = - 4

Es würde dann so weiter gehen ...

f^{(5)} = 0

f^{(6)} = 6

f^{(7)} = 0

f^{(8)} = - 8

Jetzt will ich die Taylorreihe

T_{0} f (x)

allgemein bilden:

Hierzu habe ich mir gedacht: 2 Fälle zu unterscheiden:
1.

(k m o d 2 = 0) \land (k m o d 4 \neq 0) \Rightarrow f^{(k)} = + k

k m o d 4 = 0 \Rightarrow f^{(k)} = - k

Aber wie kann ich denn die Fälle formal in der Summenformel für die Taylorreihe berücksichtigen?

Ich habe es soweit versucht:

T_{0} f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{B e d i n g u n g} f^{(k)} (0) \cdot \frac{x^{k}}{k!}

Aber die Bedingung bekomme ich irgendwie nicht hin :( - sie müsste ja zu einer ungeraden Zahl werden, damit das Vorzeichen der jeweiligen Summande negativ wird.

Kann mir bitte jemand einen Tipp geben?

Vielen Dank vorab

Viele Grüße

Asg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

16:35 Uhr, 04.02.2015

Hallo
1. du kannst einfach die Reihe für

sin (x)

nehmen und mit

x

multiplizieren. 2. es treten nur gerade Exponenten auf also über

x^{2 k}

summieren, wenn du bei 0 anfängst über

x^{2 k + 2}

und dann einfach

{(- 1)}^{k})

Gruß ledum

asg-2014 aktiv_icon

16:58 Uhr, 04.02.2015

Hallo,

dankeschön für die Antwort.

zu 1) gute Idee, ich werde es probieren.

zu 2) Ich denke, für die Hausaufgabe werde ich die die 2. Variante nehmen. Aber ich kann es nicht nachvollziehen:

1. Wenn ich über

x^{k}

summiere, müsste es ja auch keinen Unterschied im Ergebnis machen, da für die ungeraden Exponenten die entpsrechenden Summanden

0

sind. Oder verstehe ich es falsch?

2. Genau das ist ja mein Problem

(- 1)^{k}

macht doch alle Summanden mit geradem Exponent negativ. Aber es sollen nur die Summanden, die durch

4

teilbar sind, negativ werden. Oder nicht?

Viele Grüße

Asg

ledum aktiv_icon

01:02 Uhr, 05.02.2015

Hallo
mir ist erst jetzt aufgefallen, dass du ja den ganz allgemeinen Ausdruck für das Taylorpolynom hingeschreiben har aver (-1)^(was) dazu?
Dann ist das flsch, wenn nicht was=0
du willst doch die Reihe für x*sinx, da sollen die

f^{k}

eingesetzt sein!
Also Summe über

a_{k} \cdot x^{k}

bzw hier

x^{}

2k)mit Zahlen

a_{k}

und nicht allgemeinen ausdrücken.
sieh dir mal in wikipedia an, wie man Taylorreihen von bestimmten Funktionen schreibt.
Gruss ledum

ledum aktiv_icon

01:02 Uhr, 05.02.2015

f^{k}

eingesetzt sein!
Also Summe über

a_{k} \cdot x^{k}

bzw hier

x^{}

2k)mit Zahlen

a_{k}

und nicht allgemeinen ausdrücken.
sieh dir mal in wikipedia an, wie man Taylorreihen von bestimmten Funktionen schreibt.
Gruss ledum

asg-2014 aktiv_icon

18:28 Uhr, 10.02.2015

Hallo,

Dankeschön für die nochmalige Antwort.

Ich muss es mir noch etwas genauer anschauen, dann melde ich mich nochmals....

Bis dann

Viele Grüße

Asg

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