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Taylorreihe in R^3

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Folgen und Reihen

Funktionen

Tags: Folgen, Funktion, Reihen

student11 aktiv_icon

16:05 Uhr, 30.07.2012

Hallo zusammen

ich soll die Taylorreihe bis zum 2. Grad folgender Funktion bestimmen:

f (x, y, z) = x \cdot y \cdot x^{\frac{1}{z}}

für

x_{0} = (1,1,1)

In 2 Dimensionen verstehe ich ja noch wie das geht, in 3 Dimensionen bin ich etwas verwirrt..

bedeutet dies:

f (1,1,1) + f_{x} (1,1,1) (x - 1) + f_{y} (1,1,1) (y - 1) + f_{z} (1,1,1) (z - 1) +

f_{x \cdot y} (1,1,1) \cdot (x - 1) \cdot (y - 1) + f_{x \cdot z} (1,1,1) \cdot (x - 1) \cdot (z - 1) +

f_{y \cdot z} (1,1,1) \cdot (x - 1) \cdot (y - 1) +

f_{x \cdot x} (1,1,1) \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{2!} + f_{y \cdot y} (1,1,1) \cdot \frac{{(y - 1)}^{2}}{2!} + f_{z \cdot z} (1,1,1) \cdot \frac{{(z - 1)}^{2}}{2!}

Vor allem wegen der Fakultät bin ich mir nicht sicher...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

whyn0t aktiv_icon

17:15 Uhr, 30.07.2012

Hi die definition sagt:

T (x) = \sum_{| α | \geq 0} \frac{{(x - a)}^{α}}{α!} D^{α} f (a)

α

ist ein multiindex)setzt sich aus den einzelnen ableitungen nach den jeweiligen größen zusammen.

whyn0t aktiv_icon

17:19 Uhr, 30.07.2012

für den multiindex

α

gilt:

| α | = α_{1} + α_{2} + ... + α_{n}

und

α! := α_{1}! \cdot α_{2}! \cdot ... \cdot α_{n}!

whyn0t aktiv_icon

17:20 Uhr, 30.07.2012

hast du also

f_{x x x y y z}

so ist

α_{1} = 3

α_{2} = 2

α_{3} = 1

student11 aktiv_icon

17:36 Uhr, 30.07.2012

Vielen Dank für deine Ausführungen..

Zur Sicherheit frage ich aber trotzdem noch nach:

Habe das jetzt durchgespielt für obige Funktion bis zur 2. Ordnung:

f = 1

f_{x} = 1

f_{y} = 1

f_{z} = 1

f_{x \cdot x} = 0

f_{y \cdot y} = 0

f_{z \cdot z} = 0

f_{x \cdot y} = 1

f_{x \cdot z} = 0

f_{y \cdot z} = 1

T (x) = 1 + (x - 1) + (y - 1) + (z - 1) + (x - 1) \cdot (y - 1) + (y - 1) \cdot (z - 1)

Hätte man

z . B

f_{x \cdot x} = 5

gäbe es den Term:

5 \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{2!}

Hätte man

z . B : f_{x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot z} = 10

Dann

\frac{10 \cdot {(x - 1)}^{2} \cdot {(x - 1)}^{2} \cdot (z - 1)}{2! \cdot 2! \cdot 1!}

Korrekt so? Das Mal zwischen den Indizes ist nur damit es diese besser darstellt.

whyn0t aktiv_icon

17:52 Uhr, 30.07.2012

Ja genau so passt es

student11 aktiv_icon

18:07 Uhr, 30.07.2012

Vielen Dank für deine Hilfe..

War echt überfordert zuerst mit dieser Gleichung :-D)
Nun ist alles klar..

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