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Taylorreihe mit sinh x bzw ln(x+1)

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Tags: Folgen, Reihen

FranziskaS83 aktiv_icon

07:52 Uhr, 21.01.2010

hallo zusammen,

ich bin langsam echt am verzweifeln . ich hatte noch nie etwas mit dem Sinushyperbolikus

(sinh

x)zu tun, doch nun soll ich damit auch noch eine Taylorreihe der Funktion bestimmen

genauso wie für eine logarithmusfunktion

hier mal die genaue aufgabenstellung:

Bestimmen sie die taylorreihen der funktionen

a) f (x) = ln (x + 1)

b) f (x) = sinh x

für die entwicklungsstelle

x 0 = 0

. Für welche

x

element der reelen zahlen stimmt

f

und die taylorreihe überein.

im dazugehörigen mathematiktutorium wurde einfach nur gesagt das wäre einfach und ich stehe allerdings da und weiß nicht mal was ich da machen soll . ich habe nicht mal einen ansatz.

bitte bitte, kann mir irgendjemand helfen?

franzi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

08:06 Uhr, 21.01.2010

Was ist denn die Ableitung von

sinh x

usw.?
Alternativ: Ist dir bekannt, wie man

sinh

mit der e-Funktion darstellen kann und wie deren Taylor aussieht?

Auch bei

ln (1 + x)

kannst du erst einmal ein paar Ableitungen bestimmen, das Muster erkennen und per Induktion beweisen.

FranziskaS83 aktiv_icon

08:14 Uhr, 21.01.2010

von

y = f (x) = sinh (x)

ist die ableitung dann wohl

y' = f (x)' = cosh (x),

leitet man das wieder ab ist das

y'' = f (x)'' = sinh (x)

warum wechselt das immer?

y = f (x) = ln (x + 1)

scheint auch in der ableitung weiterhin so erhalten zu bleiben, allerdings weiß ich auch hier nicht warum das so ist

hagman aktiv_icon

11:29 Uhr, 21.01.2010

Warum wechselt das immer? Wenn du weisst, was die Ableitung von

sinh

und

cosh

ist, dann hoffentlich deshalb, weil das mal von euch irgendwann mal ausgerechnet und bewiesen wurde.
Es ist wegen des Wechselns jedenfalls immer

f^{(2 n)} (x) = sin x

und

f^{(2 n + 1)} = cos x

.
Für die Taylorreihe brauchst du

\frac{f^{(k)} (0)}{k!} \cdot x^{k}

.
Wenn du das anschaust, könnte es sich lohnen,

x

auszuklammern und den Rest eher als Funktion in

x^{2}

aufzufassen.

-
Über die Ableitung des Logarithmus denke bitte nochmal nach

FranziskaS83 aktiv_icon

14:27 Uhr, 22.01.2010

bei uns wurde weder etwas bewiesen noch sonst irgendetwas., etwas habe ich nun per wikipedia herausgefunden, aber eine herleitung oder ähnliches gab es während der vorlesung nicht!

arrow30

14:43 Uhr, 22.01.2010

f (x) = e^{x} \to f' (x) = f'' (x) = f''' (x) =

. . .

= f^{n} (x) = e^{x} \Rightarrow f^{n} (0) = 1

T (\times) = \sum_{n_{0}}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}

f (x) = e^{- x} \to f (0) = 1; f' (0) = - 1, f'' (0) = 1 ... ... f^{n} (0) = {(- 1)}^{n}

e^{- x} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{x^{n}}{n!}

sinh x = \frac{1}{2} \cdot (e^{x} - e^{- x}) = \frac{1}{2} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{x^{n}}{n!} + \frac{x^{n}}{n!} = \frac{1}{2} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} \cdot (1 + {(- 1)}^{n + 1})

nun

1 + {(- 1)}^{n + 1} = 2

falls

n

ungerade und 0 falls

n

gerade folglich

sinh x = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{2 n + 1} \cdot \frac{x^{2 n}}{(2 n + 1)!}

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