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Taylorreihe, n-te Ableitung finden

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, n-te Ableitung, Taylor

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13:42 Uhr, 18.05.2013

Hallo,

ich habe ein Problem die n-te Ableitung von

f (x) = (l n (2 x + 4))^{2}

zu finden. Ich habe Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel beim Ableiten versucht zu nutzen, um ein Schema zu entdecken. Inzwischen hab ich auch schon versucht die Funktion mit Hilfe der e-Funktion zu knacken. Ohne Erfolg.
Hat jemand eine Idee, wie ich hier vorgehen muss?

Meine bisherigen Ableitungen:

f ʹ (x) = \frac{4 * l n (2 x + 4)}{2 x + 4}

f ʺ (x) = 4 * \frac{2 - 2 * l n (2 x + 4)}{(2 x + 4)^{2}}

f ‴ (x) = 4 * \frac{(2 x + 4) * (- 2) - (4 * (2 x + 4)) * (2 - 2 * l n (2 x + 4))}{(2 x + 4)^{4}}

Eigentlich müsste man jetzt doch mal etwas sinnvolles erkennen können :-(

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

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15:10 Uhr, 18.05.2013

Mach mal damit weiter :

f ʺ (x) = 8 \cdot \frac{1 - \ln (2 x + 4)}{(2 x + 4)^{2}}

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16:09 Uhr, 18.05.2013

Dann habe ich:

f ‴ (x) = 8 * \frac{- 2 - 4 (1 - l n (2 x + 4))}{(2 x + 4)^{3}}

Stimmt das wenigstens, oder habe ich da auch quatsch gerechnet? :-(

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19:35 Uhr, 18.05.2013

Du hast doch keinen Quatsch gerechnet, sondern nur nicht fertig vereinfacht.

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19:58 Uhr, 18.05.2013

f ʺ (x) = 8 \cdot \frac{1 - \ln (2 x + 4)}{(2 x + 4)^{2}}

f ‴ (x) = 8 \cdot \frac{\frac{- 2}{2 x + 4} \cdot (2 x + 4)^{2} - (1 - \ln (2 x + 4)) \cdot 4 (2 x + 4)}{(2 x + 4)^{4}}

f ‴ (x) = 8 \cdot \frac{- 2 - (1 - \ln (2 x + 4)) \cdot 4}{(2 x + 4)^{3}}

f ‴ (x) = 8 \cdot \frac{- 6 + 4 \ln (2 x + 4))}{(2 x + 4)^{3}}

f ‴ (x) = 16 \cdot \frac{- 3 + 2 \ln (2 x + 4))}{(2 x + 4)^{3}}

so langsam nimmts Form an ...

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20:44 Uhr, 18.05.2013

Ahhh. Alles klar. Vielen Dank!

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20:45 Uhr, 18.05.2013

Vielen Dank!

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12:05 Uhr, 20.05.2013

Ich habe doch noch ein Problem...

Für die

v i e r t e A b l e i t u n g : 32 * \frac{11 - 6 l n (2 x + 4)}{(2 x + 4)^{4}}

f ü n f t e A b l e i t u n g : 64 * \frac{- 50 + 24 l n (2 x + 4)}{(2 x + 4)^{5}}

Ich habe nun für die n-te Ableitung:

(- 2)^{n + 1} * \frac{- X + (n - 1)! * l n (2 x + 4)}{(2 x + 4)^{n}}

Ich weiß einfach nicht, wie sich die Zahl an der Stelle von meinem X zusammensetzt...
Der Rest sollte doch eigentlich stimmen, oder?

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13:43 Uhr, 20.05.2013

sieht nach

(\binom{n}{2})

aus

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13:53 Uhr, 20.05.2013

Hmm, dafür bekomme ich aber bei der fünften Ableitung 10 und für die vierte 6 raus.

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14:08 Uhr, 20.05.2013

Entschuldige, es handelt sich nicht um Binomialkoeffizienten, sondern um Sterling-Polynome.

Das ist reichlich kompliziert und selten :
http//de.wikipedia.org/wiki/Stirling-Zahl#Stirling-Polynome

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14:30 Uhr, 20.05.2013

Oje, davon hab ich ja noch nie gehört. Vielen Dank aber! Kann man das überhaupt aufschreiben, so dass es in meine Formel für die n-te Ableitung passt!?

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14:46 Uhr, 20.05.2013

Die Schreibweise für Sterling ist soweit ich weiss nicht normiert.

Ich frage mich, ob Euch da der Prof nur ärgern wollte ...

vielleicht die Erläuterung zur Berechnung der Sterlinge in einen Anhang dazutun.

Eventuell ist das auch gar nicht soooo wichtig - vielleicht reicht es für eine Grenzwertbetrachtung nur zu wissen, dass es horrend flott immer grösser wird, so dass sich die e-Funktion darunter vor Scham verstecken muss.

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14:49 Uhr, 20.05.2013

Ok vielen Dank für deine Geduld nochmal. Die Aufgabe ist von einem Tutoren, wer weiß wo er die gefunden hat... Wir haben und werden so etwas in der Art jedenfalls überhaupt nicht machen. Werde ich morgen mal klären... Frage ist nun endgültig beantwortet.

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14:49 Uhr, 20.05.2013

Wie ist die Aufgabenstellung eigentlich entstanden und worauf soll die raus ?

Vielleicht liegt die Abzweigung zum Holzweg schon weit hinter uns ...

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14:51 Uhr, 20.05.2013

Ok dann nicht endgültig :-D) Die Aufgabe war einfach nur die Taylorreihe zu erstellen. Wir machen dafür immer die n-te Ableitung, Prüfug ob das Restglied gegen Null geht und dann die Erstellung der kompakten Form.

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15:20 Uhr, 20.05.2013

wie es dem Restglied geht, sieht man ja schon, oder ?

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15:30 Uhr, 20.05.2013

Ja, danke. Den Rest bekomme ich (soweit es möglich ist) hin. Danke nochmal!

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