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Taylorreihe und Restglied nach Lagrange

Universität / Fachhochschule

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Funktionenfolgen

Tags: Restglied, Taylorpolynom, Taylorreihe

Lili1 aktiv_icon

15:08 Uhr, 10.05.2013

Hallo!

Wir haben gerade die Taylorreihe gemacht. Leider komm ich bei der folgenden Übungsaufgabe nicht weiter bzw. weiß ich nicht, ob das was ich bis jetzt gemacht habe richtig ist.
Also hier mal die Aufgabenstellung:
Bestimme ein

x

element

Q

mit

e^{- 1} - x \leq 10^{- 2}

mit Hilfe des Restgliedes nach Lagrande aus der Taylor-Formel!

Also ich hab erstmal die erstmal

f (x) := e^{- 1} - x

abgeleitet. Da kommt dann

(- 1)

raus. Nun ja, dass hab ich mal das Taylorpolynom mit dem Restglied

R 1

aufgeschrieben, dies wäre:

e^{- 1} - x 0 - (\frac{1}{2}) x + (\frac{1}{2}) x 0

und dann die Ungleichung aufgeschrieben:

e^{- 1} - x 0 - (\frac{1}{2}) x + (\frac{1}{2}) x 0 \leq 10^{- 2}

Stimmt der Weg bis hierhin überhaupt, oder muss ich da irgendetwas anderes machen?

Danke im Voraus! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

19:50 Uhr, 11.05.2013

Hallo,

ich vermute Du sollst di Funktion

f (x) = e^{x}

in einer Taylorreihe entwickeln, Entwicklungspunkt

x_{0} = 0

und "Auswertpunkt"

y = - 1

. Also

e^{- 1} = f (- 1) = f (0) + f' (0) (- 1) + \frac{1}{2} \cdot f'' (0) \cdot {(- 1)}^{2} + . .

.

Dann musst Du soviele Terme nehmen, bis das Restglied die Fehlerschranke erfüllt.

Gruß pwm

Lili1 aktiv_icon

18:11 Uhr, 12.05.2013

Hallo!

Danke für deine Antwort. So ganz klar ist es mir aber immer noch nicht. Machst du das jetzt um den Entwicklungsmittelpunkt -1 oder 0??? Wenn ich den Entwicklungsmittelpunkt -1 nehme, dann kommt bei mir für das Taylorpolynom $\frac{1}{e} + \frac{1}{e} (x + 1) + \frac{1}{2 e} (x + 1) ² + \frac{1}{6 e} (x + 1) ³ + \frac{1}{4! e} (x + 1) 4 + .....$ raus.

Und wenn ich die 0 nehme dann kommt eben das gleiche nur ohne dem e raus und statt (x+1) steht dann eben nur x da.

Kannst du mir das bitte etwas genauer erklären. Wär dir wirklich sehr dankbar.

Glg

Lili

pwmeyer aktiv_icon

19:41 Uhr, 12.05.2013

Hallo,

es gilt mit Entwicklungsmittelpunkt

x_{0} = 0 :

e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2} \cdot x^{2} + \frac{1}{6} \cdot x^{3} + R

Dabei ist

R = \frac{1}{24} \cdot e^{ξ} \cdot x^{4}

. Das wenden wir jetz mit

x = - 1

an. Dann liegt das unbekannte

ξ

zwischen

- 1

und

0,

man kann also abschätzen:

e^{ξ} \leq 1

.

Also gilt:

e^{- 1} = 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + R

mit

0 \leq R \leq \frac{1}{24}

gegebenenfalls musst Du noch mehr Terme der Reihe benutzen.

Gruß pwm

Lili1 aktiv_icon

21:23 Uhr, 12.05.2013

Hallo!

Danke!

Also ich hab das jetzt mal so gemacht :

$1 + x + \frac{1}{2} x² + \frac{1}{6} x³ + \frac{1}{24} x^{4} + \frac{1}{120} x^{5} + R$

wobei $R = \frac{1}{720} e^{ξ} x^{6}$ ist und nun setze ich x=-1 => $R = \frac{1}{720} e^{ξ} \Rightarrow 0 \leq e^{ξ} \leq 1 \Rightarrow 0 \leq R \leq \frac{1}{720}$

Also ich hab jetzt die Reihenentwicklung deshalb bis 1/720 gemacht, weil ich ja beachten muss, dass der ganze Ausdruck kleiner als 1/100 sein muss, oder? ich hätte als R auch 1/120 annehmen können, war mir aber nicht sicher, da ich da ja dann eine negative Zahl (wenn ich für x (-1) einsetzte).

Und was ist jetzt also meine Lösung für x???

pwmeyer aktiv_icon

08:23 Uhr, 13.05.2013

Hallo,

die Näherung für

e^{- 1}

ist

1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120}

Gruß pwm

Lili1 aktiv_icon

15:16 Uhr, 14.05.2013

Hallo! Danke! Ich habs jetzt so gelöst:

$x_{0} = 0 e^{x} = 1 + x + (1 / 2) x² + (1 / 6) x³ + (1 / 24) x^{4} + (1 / 120) x^{5} + R e^{x} - (x + (1 / 2) x² + (1 / 6) x³ + (1 / 24) x^{4} + (1 / 120) x^{5}) = R x : = - 1 \Rightarrow e^{- 1} - (11 / 30) < (1 / 100)$

Danke nochmal für deine Hilfe!

LG Lili

Lili1 aktiv_icon

15:18 Uhr, 14.05.2013

Opps ... sorry leider fehlen da die Abstände... Ich hoff es ist trotzdem halbwegs lesbar :)

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