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Taylorreihe von ln(1-x) durch Integration lösen

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Tags: Differentiation, Folgen und Reihen, Funktion, Funktionalanalysis, Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Funktionentheorie, Integration

Jannes aktiv_icon

17:18 Uhr, 02.03.2015

Hallo zusammen,

folgende Frage die mir Probleme bereitet:

"Sei

f (x) = ln (1 - x)

. Bestimmen Sie die Taylorreihe von

f

indem Sie die Potenzreihe von

\frac{1}{1 - x}

integrieren. Geben Sie den genauen Konvergenzbereich der Reihe an."

Hier einmal meine Gedanken, die ich mir bisher gemacht habe:

Ich weiß was eine Taylorreihe ist und wie man diese normalerweise entwickelt. Aber wie kann ich denn eine Taylorreihe aufstellen indem ich eine Potenzreihe integriere?
Weiter weiß ich das

\frac{1}{1 - x}

die Summenfunktion der geometrischen Reihe ist für

- 1 < x < 1

.

Wenn ich ganz normal meine Taylorreihe entwickeln würde käme ich auf folgendes Ergebnis:

0 + x - (\frac{1}{2} x^{2}) + (\frac{1}{3} x^{3})

+...+Restglied nach Lagrange.

Also kann mir jemand helfen? Wo liegt mein Fehler bzw. was wird von mir in der Aufgabenstellung überhaupt verlangt?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

pwmeyer aktiv_icon

17:24 Uhr, 02.03.2015

Hallo,

Du sollst

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{1 - t} d t

auf 2 Wegen "berechnen":
- durch Integration
- durch Ersetzen des Integranden durch die geometrische Reihe und anschließende gliedweise Integration.

Gruß pwm