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Taylorreihe zur Funktion arctan

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Tags: arctan, Differentiation, Funktion, Integration, Taylorreihe

Moonfire aktiv_icon

01:59 Uhr, 13.04.2015

Hallo! Die Aufagabe war "Durch Betrachtung der Ableitung leite man die Taylorreihe zur Funktion arctan mit Anschlussstelle $x_{0} = 0$ her".

Es gibt eine Musterlösung dazu, aber ich verstehe den letzten Teil davon nicht, bzw. glaube ich, dass da was fehlt.

Zuerst wurde gezeigt, dass
arctan(x)= $\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{2 k + 1} \cdot x^{2 \cdot k \cdot x + 1}$ ist, falls $| x | < 0$ .

Die nächsten Schritte sind wie folgt:

$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{2 k + 1} = lim_{t \to 1^{-}} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{2 k + 1} \cdot t^{2 k + 1} = lim_{t \to 1^{-}}$ arctan(t)=arctan(1)

arctan(1)=x

$tan (x) = \frac{sin (x)}{cos (x)} = 1$

$sin (x) = cos (x)$

$cos (2 x) = {cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x) = 0$

$2 x = \frac{π}{2} + k π, k \in Z$

$x = \frac{π}{4} \to$ arctan(1)= $\frac{π}{4} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{2 k + 1}$

$__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}$

Die Taylorreihe ist ja $f (x) = f (0) + \frac{x^{1}}{1!} \cdot f' (0) + \frac{x^{2}}{2!} \cdot f'' (0) + \frac{x^{3}}{3!} . .$ .

Fehlt da irgendwas oder verstehe ich es falsch...?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Roman-22

04:19 Uhr, 13.04.2015

Und was genau ist dir unklar?

Das, was offensichtlich Aufgabe war, nämlich die Herleitung der Taylorreihe von arctan(x), hast du ja gar nicht nähere ausgeführt sondern nur das Ergebnis angegeben. Der Teil dürfte dir also klar sein. Da ist ein x zuviel im Exponenten von x und $∣ x ∣ < 0$ bezweifle ich auch - das wird sich schwer machen lassen.

Was die Spielerei mir dem Summensatz für doppelte Winkel udgl soll weiß ich auch nicht. Womöglich soll der ganze Zinnober nur dazu dienen, den goniometrische Gleichung tan(x)=1 zu lösen? Das wär aber ziemlicher Blödsinn, denn das sollte man schon wissen, dass da $x = \frac{π}{4} + k \cdot π mit k \in ℤ$ ist.
Außerdem kommt bei den von dir gegebenen Umformungen
$x = \frac{π}{4} + k \cdot \frac{π}{2} mit k \in ℤ$
heraus. Das stimmt zwar für die Gleichung $c o s (2 x) = 0$ , nicht aber für die Ausgangsgleichung $t a n (x) = 1$ . Da müsste man jetzt die durch das Quadrieren dazugekommenen Scheinlösungen wieder mühsam entfernen.

Jedenfalls wird die eben gewonnene Potenzreihe für arctan(x) jetzt dazu verwendet, um eine einfache Reihe zu bestimmen, die nach $\frac{π}{4} = a r c t a n (1)$ konvergiert.
Diese Reihe wird übrigens gelegentlich zu (Programmier)Übungszwecken dazu verwendet, um $π$ auf zig Nachkommastellen zu berechnen. Sie ist dazu aber nicht besonders gut geeignet, da sie sehr langsam konvergiert. Für diese Zwecke gibts bessere Reihen, zB jene von MACHIN und andere.

Also was genau ist dir unklar? Ganz zum Schluss, als die Herleitung der Potenzreihe für $a r c t a n (x)$ schon längst erledigt ist schreibst du die allgemeine Formel für die McLaurin-Reihe (=Taylor an der Stelle 0) hin und bist offenbar verwirrt.
Irritiert dich, dass die Reihe für $a r c t a n (1)$ keine Potenzreihe ist, also kein x enthält? Das sollte nicht verwundern, denn mit dieser Reihe wird ja schließlich keine Funktion (wie $a r c t a n (x)$ ) dargestellt sondern ein konstanter Wert (nämlich $a r c t a n (1) = \frac{π}{4}$ ).

Gruß R

Moonfire aktiv_icon

08:17 Uhr, 13.04.2015

Danke für die Antwort!

Na ja, erstens mal hab ich nicht ganz gecheckt, dass $\sum_{k = 0}^{\infty}$ ((−1)^k)/(2k+1) $\cdot x^{2 \cdot k \cdot x + 1}$ schon die Lösung sein soll.
Diese Potenzreihe wird nämlich schon am Anfang angegeben. Dann wird gezeigt, dass die Ableitung von $\sum_{k = 0}^{\infty}$ ((−1)^k)/(2k+1) $\cdot x^{2 \cdot k \cdot x + 1}$ gleich der schon bekannten Ableitung von arctan ist und dass sowohl $\sum_{k = 0}^{\infty}$ ((−1)^k)/(2k+1) $\cdot x^{2 \cdot k \cdot x + 1}$ also auch arctan bei 0 beide den Wert 0 haben. Daraus wird dann gefolgert, dass die zwei gleich sind.
Ich verstehe nicht ganz, wie man überhaupt auf $\sum_{k = 0}^{\infty}$ ((−1)^k)/(2k+1) $\cdot x^{2 \cdot k \cdot x + 1}$ kommt.

Und es verwirrt mich, wieso am Ende arctan(1) berechnet wird, da die Angabe wirklich nur das ist, was ich im ersten Post angegeben habe...

Roman-22

14:02 Uhr, 13.04.2015

Du hast immer noch ständig die falschen, überschüssigen x im Exponenten.

> Und es verwirrt mich, wieso am Ende arctan(1) berechnet wird, da die Angabe
> wirklich nur das ist, was ich im ersten Post angegeben habe...

Nun, warum ihr das so gemacht habt, das wird dir hier vermutlich auch niemand beanworten können, es sei denn, er/sie ist in derselben Vorlesung gesessen wie du.
Meine Vermutung ist, wie ich schon geschrieben habe, dass das bloß eine "praktische Anwedung" der Taylorreihe für arctan(x) ist.
Immerhin wissen wir dadurch, dass $π = 4 \cdot (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} \pm \dots)$ ist. Auch wenn wir es bei dieser sog. Leibnizreihe mit einer sehr langsamen Konvergenz zu tun haben - $1000$ Glieder schaffen es gerade einmal, einen auf drei Nachkomstallen gerundeten Näherungswert für $π$ zu liefern. Aber immerhin war die Leibnizreihe die erste wesentlich verschiede Methode um $π$ näherungsweis zu berechnen seit Archimedes und hat somit zumindest historische Bedeutung.
Zum Vergleich: Die ersten (nur) 10 Glieder der Reihe von Machin liefert bereits ca. 16 Nachkommastellen von $π$ . Sie beruht auf der Beziehung $π = 4 \cdot (4 \cdot a r c t a n (\frac{1}{5}) - a r c t a n (\frac{1}{239}))$ und verwendet natürlich auch die Potenzreihenentwicklung des $a r c t a n$ . Es ergibt sich also $π = 4 \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} [\frac{(- 1)^{k}}{2 k + 1} \cdot (4 \cdot \frac{1}{5^{2 k + 1}} - \frac{1}{23 9^{2 k + 1}})]$ , eine sehr rasch konvergierende Reihe.

Gruß R

Moonfire aktiv_icon

18:27 Uhr, 13.04.2015

Also reicht als Ergebnis einfach $\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k} \cdot x^{2 k + 1}}{2 k + 1}$ ?

Roman-22

21:40 Uhr, 13.04.2015

> Also reicht als Ergebnis einfach ∑k=0∞(-1)k⋅x2k+12k+1?

Du meinst, wenn die Aufgabe lautet, die Potenzreihe von arctan(x) zu bestimmen?
Nicht ganz. Was fehlt ist eine Angabe darüber, für welche Werte von x diese Reihenentwicklung gültig ist - Stichwort Konvergenzradius. Hier sind besonders die Ränder zu untersuchen.
Außerdem hast du bisher ja überhaupt nicht gezeigt, wie du auf die angegebene Reihenentwicklung gekommen bist. Aber diese Herleitungsschritte scheinen dir ohnedies klar gewesen zu sein.

Gruß R

Moonfire aktiv_icon

13:19 Uhr, 26.04.2015

(wollte nur die Frage abhacken, danke Roman-22!)

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