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Technische Mechanik

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Tags: Technische Mechanik

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15:31 Uhr, 20.08.2019

Auf dem ersten Bild ist der Formelverweis. Auf den zwei anderen Bildern die Aufgabe wo ich nicht verstehe wie

δ l 1

und

u

bzw.

v

zustande gekommen ist. Gruß David

Enano

19:16 Uhr, 21.08.2019

"... wo ich nicht verstehe wie δl1 und

u

bzw.

v

zustande gekommen ist."

Δ l_{1}

ist die Längenänderung des Stabes

1,

die zustande kommt, weil im Knoten

C

die Kraft

F

angreift.
Diese Kraft bewirkt eine Verkürzung des Stabes 1 und eine Verlängerung des Stabes 2.
Dadurch verschiebt sich der Knoten von

C

nach

C'

und zwar in horizontaler Richtung um "u" und in vertikaler Richtung um "v".

Die Längenänderung der Stäbe ist proportional zu den jeweils angreifenden Kräften und umgekehrt proportional zu ihrer Dehnsteifigkeit in Längsrichtung:

\frac{Δ l_{1}}{l_{1}} = \frac{Δ l_{1}}{l} = \frac{S_{1}}{E \cdot A} \to Δ l_{1} = \frac{S_{1} \cdot l}{E \cdot A} = \frac{F \cdot l}{E \cdot A \cdot tan α}

weil

S_{1} = \frac{F}{tan α}

Weil sich Stab

1

in horizontaler Lage befindet, ist die Horizontalverschiebung "u" gleich der Längenänderung

Δ l_{1}

\frac{Δ l_{2}}{l_{2}} = \frac{S_{2}}{E \cdot A} \to Δ l_{2} = \frac{S_{2} \cdot l_{2}}{E \cdot A} = \frac{F \cdot l}{E \cdot A \cdot sin α \cdot cos α}

weil

S_{2} = \frac{F}{sin α}

und

l_{2} = \frac{l}{cos α}

Weil Stab 2 aber nicht senkrecht ausgerichtet ist, entspricht das

Δ l_{2}

nicht der Vertikalverschiebung "v".

Um sie auszurechnen, werden die Länge der Hypotenuse des oberen Dreiecks und die der Ankathete des unteren Dreiecks in Abbildung

1.13 d

addiert, also:

v = \frac{Δ l_{2}}{sin α} + \frac{u}{tan α} = \frac{F \cdot l}{E \cdot A \cdot {sin}^{2} α \cdot cos α} + \frac{F \cdot l}{E \cdot A \cdot {tan}^{2} α} = \frac{F \cdot l}{E \cdot A \cdot {sin}^{2} α \cdot cos α} + \frac{F \cdot l \cdot {cos}^{2} α}{E \cdot A \cdot {sin}^{2} α}

weil

{tan}^{2} α = \frac{{sin}^{2} α}{{cos}^{2} α}

v = \frac{F \cdot l}{E \cdot A \cdot {sin}^{2} α \cdot cos α} + \frac{F \cdot l \cdot {cos}^{2} α}{E \cdot A \cdot {sin}^{2} α} = \frac{F \cdot l + F \cdot l \cdot {cos}^{3} α}{E \cdot A \cdot {sin}^{2} α \cdot cos α} = \frac{F \cdot l \cdot (1 + {cos}^{3} α)}{E \cdot A \cdot {sin}^{2} α \cdot cos α}

Um die Nenner beider Brüche gleichnamig zu machen, wurden Zähler und Nenner des zweiten Bruches mit

cos α

multipliziert.

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