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Teilbarkeit beweisen oder widerlegen

Universität / Fachhochschule

Teilbarkeit

Tags: Teilbarkeit

Student246 aktiv_icon

21:09 Uhr, 07.11.2023

Ich habe ein Übungsblatt bekommen und tue mich leider bei 3 Teilaufgaben etwas schwer. Die erste lautet:
Nun sei

p

∈

P,

also eine Primzahl. Überprüfen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr
oder falsch sind. Geben Sie dazu entweder einen Beweis oder aber ein Gegenbeispiel
an.

f)

a²|b³ ⇒

a | b

Die zweite:
Für a ∈

N

bezeichnen wir mit Ta die Menge der (positiven) Teiler von

a

. Ferner sei
τ (a)

=

|Ta|, also die Anzahl der Teiler von

a

d)

Zeigen Sie, dass τ

(a)

≤ 2√a gilt.

e)

Für jede ungerade Quadratzahl ist die Summe ihrer Teiler ungerade. Bitte be-
weisen!

Ich bin für jede Hilfe dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

21:49 Uhr, 07.11.2023

Hallo,

für f) findet man leicht ein Gegenbeispiel, wenn man bedenkt, dass

a ∣ b

genau dann gilt, wenn

ν_{p} (a) \leq ν_{p} (b)

.
Dabei ist

ν_{p} (a)

gerade die der Exponent der höchsten

p

-Potenz, die

a

teilt.
MaW: Es gilt:

a = \prod_{p \in ℙ} p^{ν_{p} (a)}

e) würde ich vermutlich induktiv nach Anzahl der unterschiedlichen Primteiler der Quadratzahl beweisen.

Bei d) stelle man zuerst fest, dass

τ

multiplikativ ist, d.h.

τ (a b) = τ (a) τ (b)

für teilerfremde

a, b

.
Dann genügt es,

τ (p^{n}) \leq 2 p^{\frac{n}{2}}

für

p \in ℙ

zu beweisen und die Multiplikativität zu verwenden.

Mfg Michael

HAL9000

23:25 Uhr, 07.11.2023

Alternative zu e)

Die Anzahl der positiven Teiler einer Zahl

n

ist genau dann ungerade, wenn

n

Quadratzahl ist - diese Aussage bekommmt man durch Paarzuordnung

t \leftrightarrow \frac{n}{t}

der Teiler von

n

, da bleibt nur im Fall "

n

Quadratzahl" ein Teiler partnerlos "übrig", nämlich

t = \sqrt{n}

.

Da alle Teiler einer ungeraden Quadratzahl auch ungerade sind, hat man eine ungerade Summe ungerader Zahlen - und die ist sicher ungerade.

@michaL

Bei d) ist ein kleiner Fehler in deiner Argumentation:

Der Nachweis

τ (p^{n}) \leq 2 p^{\frac{n}{2}}

reicht leider nicht, denn dann hättest du nur

τ (p q) \leq τ (q) τ (q) = 2 \sqrt{p} \cdot 2 \sqrt{q} = 4 \sqrt{p q}

,

was leider zu wenig ist für das nachzuweisende

τ (p q) \leq 2 \sqrt{p q}

.

Ich würde es wie bei e) angehen: Es gibt maximal

⌊ \sqrt{a} ⌋

Teiler

t

mit

1 \leq t \leq \sqrt{a}

, und da es via

t ´ = \frac{n^{2}}{t}

genauso viele Teiler

t

mit

\sqrt{a} \leq t \leq a

gibt...

michaL aktiv_icon

07:15 Uhr, 08.11.2023

Hallo,

aaach, ich werd' alt. :(

Mfg Michael

HAL9000

11:22 Uhr, 08.11.2023

Wenn es dich tröstet: Ich BIN alt, zumindest gemessen am Alter der meisten Forumteilnehmer. ;-)

Student246 aktiv_icon

19:45 Uhr, 08.11.2023

Danke für eure Hilfe!!

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