Teilbarkeit durch 3 - Beweis für Kriterium

Es gibt ja den Satz: Eine (natürliche) Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Die eine Richtung konnte ich beweisen (Quersumme durch 3 teilbar => Zahl durch 3 teilbar). Für die andere Richtung fällt mir nichts ein.

Also: wie kann man beweisen:

Natürliche Zahl durch 3 teilbar => die Quersumme der Zahl ist durch 3 teilbar

?

O.k., das geht natürlich, da ${\displaystyle {10}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-1}$ immer durch 9 teilbar für n>0.

Und die Logik geht dann wohl so weiter: Wenn die Differenz zweier Zahlen und eine der beiden Zahlen auch durch 3 teilbar ist, muss auch die andere Zahl duch 3 teilbar sein. Korrekt?