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Teilbarkeit durch 3 mit Rest

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Quersumme, Teilbarkeit durch 3

Larissa16 aktiv_icon

08:57 Uhr, 29.11.2013

Die Teilbarkeit mit 3 wird behandelt. Jürgen sagt: Wenn bei der Quersumme Rest 2 bleibt, dann bleibt bei der Zahl auch Rest

2,

wenn ich durch 3 teile. Also:

1742 : 3 =

? Rest

2,

denn

1 + 7 + 4 + 2 = 14 : 3 = 4

Rest 2 Stimmt sein Trick? Wie kann man das anschaulich zeigen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeitsregeln

Bummerang

09:24 Uhr, 29.11.2013

Hallo,

für einstellige Zahlen ist die Sache klar, da die Quersumme gleich der Zahl selbst ist. Für mehrstellige Zahlen gilt dann:

Sei

m

eine n-stellige natürliche Zahl mit

n \geq 2,

dann ist

m

darstellbar in der Form

m = \sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} \cdot 10^{i} = a_{0} \cdot 10^{0} + \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i} \cdot 10^{i} = a_{0} + \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i} \cdot 10^{i}

Für

i \in {1,2, ..., n - 1}

ist aber

10^{i} = 1 + \sum_{k = 0}^{i - 1} 9 \cdot 10^{k}

.

Zur Verdeutlichung:

i = 3

10^{3} = 1000 = 1 + 999 = 1 + 9 \cdot 1 + 9 \cdot 10 + 9 \cdot 100 = 1 + 9 \cdot 10^{0} + 9 \cdot 10^{1} + 9 \cdot 10^{2} = 1 + \sum_{k = 0}^{2} 9 \cdot 10^{k} = 1 + \sum_{k = 0}^{3 - 1} 9 \cdot 10^{k}

Damit ergibt sich für

m

m = a_{0} + \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i} \cdot 10^{i}

m = a_{0} + \sum_{i = 1}^{n - 1} (a_{i} \cdot (1 + \sum_{k = 0}^{i - 1} 9 \cdot 10^{k}))

m = a_{0} + \sum_{i = 1}^{n - 1} (a_{i} + a_{i} \cdot \sum_{k = 0}^{i - 1} 9 \cdot 10^{k})

m = a_{0} + \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i} + \sum_{i = 1}^{n - 1} (a_{i} \cdot \sum_{k = 0}^{i - 1} 9 \cdot 10^{k})

m = \sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} + \sum_{i = 1}^{n - 1} (a_{i} \cdot 9 \cdot \sum_{k = 0}^{i - 1} 10^{k})

Die erste Summe ist die Summe aller Ziffern von

m

und damit die Quersumme von

m

. Bei der Division durch 3 ergibt nun

m

den Rest

r_{m}, d . h

die Zahl

m

lässt sich auch wie folgt darstellen

m = 3 \cdot m_{3} + r_{m}

Die Quersumme ergibt bei der Division durch 3 den Rest 2 und lässt sich somit darstellen als

\sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} = 3 \cdot q_{3} + 2

Ausserdem lässt sich die letzte Summe darstellen als

\sum_{i = 1}^{n - 1} (a_{i} \cdot 9 \cdot \sum_{k = 0}^{i - 1} 10^{k}) = \sum_{i = 1}^{n - 1} (a_{i} \cdot 3 \cdot 3 \cdot \sum_{k = 0}^{i - 1} 10^{k}) = 3 \cdot \sum_{i = 1}^{n - 1} (a_{i} \cdot 3 \cdot \sum_{k = 0}^{i - 1} 10^{k})

und lässt deshalb bei der Division durch 3 den Rest 0.

Damit ergibt sich aus

m = \sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} + \sum_{i = 1}^{n - 1} (a_{i} \cdot 9 \cdot \sum_{k = 0}^{i - 1} 10^{k})

3 \cdot m_{3} + r_{m} = 3 \cdot q_{3} + 2 + 3 \cdot \sum_{i = 1}^{n - 1} (a_{i} \cdot 3 \cdot \sum_{k = 0}^{i - 1} 10^{k})

r_{m} - 2 = 3 \cdot q_{3} - 3 \cdot m_{3} + 3 \cdot \sum_{i = 1}^{n - 1} (a_{i} \cdot 3 \cdot \sum_{k = 0}^{i - 1} 10^{k})

r_{m} - 2 = 3 \cdot (q_{3} - m_{3} + \sum_{i = 1}^{n - 1} (a_{i} \cdot 3 \cdot \sum_{k = 0}^{i - 1} 10^{k}))

Auf der rechten Seite steht eine durch 3 teilbare Zahl, also muss die Differenz auf der linken Seite auch durch 3 teilbar sein. Da

r_{m}

als Rest der Division von

m

durch 3 nur die Werte

0,1

und 2 annehmen kann, überprüft man schnell, dass nur für

r_{m} = 2

diese Differenz auch durch 3 teilbar ist. Also muss

r_{m} = 2

gelten. Damit ergibt die ganzzahlige Division mit Rest einer Zahl

m

durch 3 den selben Rest, den auch die Quersumme von

m

bei der ganzzahligen Division durch 3 mit Rest ergibt.

Larissa16 aktiv_icon

09:58 Uhr, 29.11.2013

Vielen Dank für diese ausführliche Antwort!

Kennt jemand auch eine Lösung, wie man Grundschulkindern das anschaulich erklären kann? Mit Plättchen oder anderem Material?

prodomo aktiv_icon

14:42 Uhr, 29.11.2013

Die Zahl habe die Ziffern

z_{1}

bis

z_{n},

wobei

z_{1}

die Einerziffer,

z_{n}

die vorderste Ziffer ist. Dann ist die Quersumme

z_{1} + z_{2} + ... . + z_{n}

. Der Beweis des gleichen Restes ist aquivalent dazu, dass Zahl minus Quersumme durch 3 teilbar sind, weil sich dazu die Reste wegheben müssen. Diese Differenz ist aber

9 \cdot z_{2} + 99 \cdot z_{3} + 999 \cdot z_{4} + ... . 999 ... . . 9 \cdot z_{n},

ist also sicher durch 3 teilbar

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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