Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Teilbarkeit in Z[w]

Teilbarkeit in Z[w]

Universität / Fachhochschule

Teilbarkeit

Tags: Teilbarkeit in Z[w]

Faulus

01:15 Uhr, 25.04.2008

Hi, habe eine Frage zu folgender Aufgabe...ich verstehe leider echt nix was man
hier von mir möchte.

Ich möchte auch keine Lösung, sondern nur die Aufgabe erklärt haben ;p

Aufgabe:
Sei

ω^{3} = 1

und

ω \neq 1

.
Zeigen sie, dass 3 in Z[

ω

] durch

(1 - ω)^{2}

teilbar ist.

Wie gesagt, keine Ahnung, wie ich vorzugehen habe.

Danke.

kalli

08:03 Uhr, 25.04.2008

Hallo,
hab mich schon lange nicht mehr mit solchen Aufgaben beschäftigt, aber ich glaube es handelt sich hier um Restklassen.

Du nimmst beispielsweise die Natürlichen Zahlen und teilst die Zahl durch 3 (ganzzahlige Divission). Der Rest ist dann die Restklasse.
Beispiel:

5 : 3 = 1

Rest 2. Damit wird die

5 = 2 mod 3

213 : 3 = 71

Rest 0. Damit gilt

213 = 0 mod 3

.

Gesucht ist nun die natürliche Zahl

(

in meinem Beispiel

3),

die die obigen Bedingungen erfüllt.

Ich glaube so geht's, aber die Antwort ist wie immer ohne Gewähr!!

Faulus

09:40 Uhr, 25.04.2008

hehe danke,
aber wie man modulo reduziert weiss ich noch ;p

mir geht es mehr darum...

muss ich nun

ω^{3}

mod

(1 - ω)^{2} \equiv 0

rechnen?
und was hat die 3 damit zu tun?

ich verstehe schlicht die aufgabenstellung nicht :(

irgendwie ist mir das auch zu allgemein...
für

ω = 3

könnte

3^{3}

mod

13 \equiv 1

sein. z.B.

bzw

(1 - ω)^{2}

muss eine inverse besitzen, aber welcher modulus?

ich raffs net ;) sry

andere idee: gcd(

ω

(1 - ω)^{2}

) = gcd(

ω

ω^{2} - 2 ω + 1

)
= gcd(

ω

1

) = 1

somit würde immer ne inverse existieren.

danke

gast01 aktiv_icon

10:06 Uhr, 25.04.2008

hallo,

ω

soll eine dritte Einheitswurzel sein, die von

1

verschieden ist. Die kannst du dir in der komplexen Zahlenebene vorstellen oder einfach als nichttriviale Lösung von

x^{3} = 1

. Die Menge

ℤ [ω]

(

ℤ

adjungiert

ω

gesprochen) besteht aus den im allgemeinen "komplexen Zahlen"

a + ω b

mit

a, b \in ℤ

Insbesondere gilt

ℤ \subset ℤ [ω]

, da

b = 0

gesetzt werden kann. Mit der üblichen Multiplikation auf komplexen Zahlen wird dies ein Ring. Es ist nicht schwer diese Konstruktion einzusehen, bei Bedarf kann ich mich nochmal dazu äußern. Dies ist auch der Ganzheitsring der Körpererweiterung

ℚ (ω)

(ist ein Kreisteilungskörper).

Für

ω

gelten die Rechenregeln:

ω^{3} = 1

und

ω^{2} + ω + 1 = 0

Beachte dazu

x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

und

ω

als nichttriviale Lösung faktoriesiert das 3-te Kreisteilungspolynom

x^{2} + x + 1

.

Nun zur Aufgabe: Zu zeigen ist

(1 - ω)^{2}

ist ein Teiler von

3

. D.h. gesucht sind

a, b \in ℤ

mit

(a + ω b) (1 - ω)^{2} = 3

Dies ist mit obigen Rechenregeln einfach zu lösen.

gruß

Faulus

11:10 Uhr, 25.04.2008

Hi...

vielen Dank für deine erklärungen ;)

so an sich habe ich jetzt alles verstanden, auch wie du auf:

(a + ω b) (1 - ω)^{2} = 3

ergibt am ende...

ω^{3} b + ω^{2} (a - 2 b) + ω (b - 2 a) + a = 3

ω^{3} = 1

ω^{2} (a - 2 b) + ω (b - 2 a) + a + b = 3

ich finde jedoch keine lösungen für a und b :(

Die Koeffizienten vor

ω^{i}

sollten alle 0 oder alle 1 sein,
wenn Koeff. 0 sind, dann a+b = 3
und wenn Koeff. 1 sind, dann a+b = 4

dies ist jedoch nicht möglich :(
oder gibt es einen anderen weg?

danke

gast01 aktiv_icon

11:18 Uhr, 25.04.2008

muss man einfach etwas geschickt rechnen:

es ist zunächst mit

1 + ω + ω^{2} = 0

(1 - ω)^{2} = 1 - 2 ω + ω^{2} = - 3 ω + 0 = - 3 ω

ω^{3} = 1

ist, sieht man jetzt sofort

- ω^{2} (1 - ω)^{2} = 3

Nun gilt wieder mit

1 + ω + ω^{2} = 0

- ω^{2} = ω + 1

also

(ω + 1) (1 - ω)^{2} = 3

Faulus

11:34 Uhr, 25.04.2008

vielen dank ;)

als ich für

ω^{3} = 1

die komplexen lösungen für

ω

eingesetzt habe,
bin ich auch auf a=1 und b=1 gekommen, ich war auch auf der modulo schiene ;p

aber deine lösung ist bei weitem eleganter...thx

wenn du mir nun noch sagen könntest was eine Einheit in Z[

ω

] ist
und was ein Euklidscher Ring ist, wäre ich dir sehr dankbar...

bb

gast01 aktiv_icon

11:42 Uhr, 25.04.2008

In einem Euklidischen Ring kann man Teilen mit Rest machen. Details sind unter

http//de.wikipedia.org/wiki/Euklidischer_Ring

zu finden. Da funktionieren dann auch so Dinge wie euklidischer Algorithmus und seine Konsequenzen.

Einheiten sind die invertierbaren Elemente, d.h. solche

a

zu denen es ein

b

im Ring gibt mit

a b = 1

Faulus

12:04 Uhr, 25.04.2008

um also alle einheiten in Z[

ω

] zu finden,

rechne ich

(a + ω b) (c + ω d) = 1

und erhalte die bedingung:

a c - b d = 1

für eine Einheit... (man errechnet sogar 2 einheiten ;) )
(sieht auch irgendwie wie der erweiterte euklid aus...)

???

Danke

gast01 aktiv_icon

12:47 Uhr, 25.04.2008

ich versteh deine Argumentation nicht, aber ich seh sofort

6

Einheiten, nämlich

\pm 1, \pm ω, \pm ω^{2}

dies müssten wohl alle sein (muss man natürlich noch zeigen).

Faulus

13:11 Uhr, 25.04.2008

ok, verstanden warum

- ω^{2} * (- ω) = 1

ist und deswegen

- ω

und

- ω^{2}

einheiten sind habe ich nun etc...
und

+ - ω^{3}

ist zu sich selber invers

aber wie zeigt man, dass es die einzigen sind?

ich dachte erst an polynomdivision mit irreduz. polynomen vom grad < 3
aber in Z[

ω

] ???

totale hirnblokade heute...

thx

gast01 aktiv_icon

13:19 Uhr, 25.04.2008

da gibt's üblicherweise den trick, dass man die sog. Norm von

α = a + b ω \in ℤ [ω]

betrachtet. Diese definiert man durch

N (α) = (a + b ω) (a + b ω^{2}) = a^{2} + b^{2} - a b

Es gilt stets

N (α) \geq 0

. In der komplexen Zahleneben gilt

ω^{2} = \bar{ω}

. Also steht da

N (α) = α \bar{α} = ∣ α ∣^{2}

Ist

α β = 1

, so

1 = N (α β) = α β \bar{α β} = α \bar{α} β \bar{β} = N (α) N (β)

N (α) \in ℤ

und sogar

\geq 0

ist, muss für eine Einheit

α

nun

1 = N (α) = a^{2} + b^{2} - a b

gelten, da

\pm 1

die einzigen Einheiten in

ℤ

sind. Also ist nach den Lösungen

a, b \in ℤ

von

a^{2} + b^{2} - a b = 1

zu suchen.

gast01 aktiv_icon

13:58 Uhr, 25.04.2008

hab nun mal deinen Ansatz

(a + b ω) (c + d ω)

verfolgt, dieser liefert zwei Bedingungen, nämlich

a c - b d = 1

a d + b c - b d = 0

Offensichtlich muss für eine Einheit ggT(

a

b

) = 1 = ggT(

c

d

) gelten. Dann folgt aus

a d + b c - b d

nun

d ∣ b

und

b ∣ d

also

d = \pm b

. Für

b = d

ist

a b + b c = b^{2}

also

(a + c) = b

und

1 = a c - b^{2} = a c - (a + c)^{2} = - (a^{2} + a c + b^{2})

Nun ist

a^{2} + a c + b^{2} \geq 0

, also muss

b = - d

gelten. Folgich ist für

b \neq 0

(c - a) = - b

und

a c + (c - a)^{2} = 1

also erhält man im wesentlichen dieselbe Bedingung

a^{2} + c^{2} - a c = 1

b = - d

ist dann jeweils durch die Lösungen von

a, c

festgelegt.

Faulus

14:39 Uhr, 27.04.2008

hi, ich bins nochmal ^^

erstmal danke für die ganzen erklärungen ;p

hab noch eine Frage zu den euklidischen Ringen..

ich soll zeigen, dass

Z [\sqrt{- 2}]

ein eukl. ring ist

dafür bin ich nach wikipedia vorgegangen und konnte zeigen, dass es kein
eukli. ring ist

da z.B.

3 + 6 * \sqrt{- 2}, 9

keinen ggT haben...
(zwei "maximale gemeinsame Teiler" sind

1 + 2 * \sqrt{- 2}

und 3, die aber teilerfremd sind).

=> kein eukl. ring....kann man dass so stehen lassen?

danke und bye

gast01 aktiv_icon

18:35 Uhr, 27.04.2008

muss dich entäuschen

ℤ [\sqrt{- 2}]

ist mit der Normabbildung

a + b \sqrt{- 2} \mapsto a^{2} + 2 b^{2} = ∣ a + b \sqrt{- 2} ∣^{2}

ein euklidischer Ring. Du hast in deinem Beispiel den ggT falsch berechnet. Dieser ist nämlich

3 - 3 \sqrt{- 2}

gruß

509146

508646

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?