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Teilbarkeit nachweisen

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Sonstiges

Tags: Sonstiges

CarlaColumna aktiv_icon

12:03 Uhr, 25.10.2014

Hallo. Meine Aufgabe: Weisen Sie nach, dass die folgende 'Teilbarkeitsregel für die Division durch

3'

gilt:

Eine natürliche Zahl ist genau dann (ohne Rest) durch 3 teilbar, wenn die Quersumme der Ziffern ihrer Dezimaldarstellung durch 3 teilbar ist!

Bemerkung: Zeigen Sie hierzu vorab, dass für

k \in ℕ

stets die Kongruenz

10^{k} \equiv_{3} 1

gilt. (Die drei befindet sich unter dem

\equiv -

Zeichen)

Wie soll ich das anstellen? Und was bedeutet die 3 unter dem Zeichen? Man nennt ja zwei Zahlen kongruent bezüglich eines Moduls, wenn sie bei der Division durch den Modul denselben Rest haben. Sprich 3 ist das Modul? Aber es stimmt ja schon dass für

10^{k} \equiv_{3} 1

immer der gleiche Rest bleibt. Aber wie soll ich das zeigen?

\frac{Q u e r s u m m e d e r D e z i m a l d a r s t e l l u n g}{3}

Mir ist inhaltlich unklar was mit " Quersumme der Ziffern ihrer Dezimaldarstellung" gemeint ist".

ℕ = 1,2,3 ... n

Jetzt nehmen wir ein Beispiel

123

Quersumme ist 6 und was ist jetzt die Dezimaldarstellung davon?

Carla

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

12:23 Uhr, 25.10.2014

Hier die Idee des Beweises:

Respon

12:27 Uhr, 25.10.2014

Einen weiteren - allgemeinen - Beweis findest du hier:
http//www.mathepedia.de/Teilbarkeitsregeln.aspx

CarlaColumna aktiv_icon

12:55 Uhr, 25.10.2014

Okay vielen Dank, damit sollte es erledigt sein.

Carla

CarlaColumna aktiv_icon

12:54 Uhr, 28.10.2014

Ich kann das alles noch nicht so ganz reproduzieren. Es happert schon bei der Kongruenz.

10^{k} \equiv 1

?

Wie funktioniert das?
Ich meine auf dem einem Link wird gezeigt, dass:

123 = 1 \cdot 10^{2} + 2 \cdot 10^{1} + 3 \cdot 10^{0}

das stimmt ja.

Aber wie soll ich das machen?

Der Beweis fängt ja mit

a_{n} 10^{n} + a_{n - 1} 10^{n - 1} + . .

10 a_{1} + a_{0}

Ich verstehe das nicht so ganz wie man darauf kommt und dann fortfährt

: (

Sry Carla

Respon

20:38 Uhr, 28.10.2014

Unsere Zahl lässt sich darstellen in der Form

a_{n} \cdot 10^{n} + a_{n - 1} \cdot 10^{n - 1} + a_{n - 2} \cdot 10^{n - 2} \cdot . .

\cdot a_{1} \cdot 10^{1} + a_{0}

Es wird umgeformt:

= a_{n} \cdot (10^{n} - 1 + 1) + a_{n - 1} \cdot (10^{n - 1} - 1 + 1) + a_{n - 2} \cdot (10^{n - 2} - 1 + 1) \cdot . .

\cdot a_{1} \cdot (10^{1} - 1 + 1) + a_{0} =

= a_{n} \cdot (10^{n} - 1) + a_{n} + a_{n - 1} \cdot (10^{n - 1} - 1) + a_{n - 1} + a_{n - 2} \cdot (10^{n - 2} - 1) + a_{n - 2} + . .

+ a_{1} \cdot (10^{1} - 1) + a_{1} + a_{0} =

Summanden werden umgestellt

= [a_{n} \cdot (10^{n} - 1) + a_{n - 1} \cdot (10^{n - 1} - 1) + a_{n - 2} \cdot (10^{n - 2} - 1) + . .

+ a_{1} \cdot (10^{1} - 1)] + [a_{n} + a_{n - 1} + a_{n - 2} + . .

+ a_{1} + a_{0}]

In einem eigenen Beweis sollte nun gezeigt werden, dass

10^{k} - 1

IMMER durch

3 (

bzw.

9)

ohne Rest teilbar ist. Das ist allerdings offensichtlich, denn die entstehenden Zahlen

(9999, 999, 99, . .

. ) sind sicher durch

3 (9)

teilbar.
=>der GESAMTE Inhalt der ersten eckigen Klammer ist durch

3 (9)

teilbar. Damit die GESAMTE Zahl durch

3 (9)

teilbar ist, muss auch die zweite eckige Klammer durch

3 (9)

teilbar sein. In der zweiten eckigen Klammer steht aber die ZIFFERNSUMME.

q . e . d

CarlaColumna aktiv_icon

21:21 Uhr, 28.10.2014

Ich komme einfach nicht dahinter wieso man die Zahl so wie sie dargestellt ist, eine natürliche Zahl nennt. Und sie so darstellt. Auch wenn ich es hinnehme blicke ich bei den Umformungsschritten nicht durch.

Der erste Schritt ist soweit ich es verstehe besagt ich addiere

+ 1

und subtrahiere

- 1,

darf man ja machen aber im Anschluss sehe ich nicht wieso es hilft, weil die

+ 1

dann wegfällt und ich nicht weiß warum:(

Carla (dankend!)

Respon

21:24 Uhr, 28.10.2014

Nein, es fällt nichts weg, es wird nur umgeformt.

z . B

. der erste Summand

a_{n} \cdot 10^{n} = a_{n} \cdot (10^{n} - 1 + 1) = a_{n} \cdot (10^{n} - 1) + a_{n}

Ist das nachvollziehbar?

CarlaColumna aktiv_icon

21:39 Uhr, 28.10.2014

Ja stimmt, ist nachvollziehbar, der Sinn der letzten Umstellung ist mir noch nicht klar. Und wieso das dann durch 3 teilbar ist. (Ohne Rest)

Ahso und die Kongruenz

10^{k} \equiv 1

ist äquivalent zu

10^{k} - 1 \equiv 0

Respon

21:46 Uhr, 28.10.2014

10^{k} \equiv_{3} 1

bedeutet, dass

10^{k} - 1

OHNE Rest durch 3 teilbar ist.
Sollte man beweisen,

z . B

. mit vollständiger Induktion.

CarlaColumna aktiv_icon

21:57 Uhr, 28.10.2014

Okay
I.A.

k = 0

10^{0} - 1 = 0

also 0 ist durch 3 teilbar

k = 1

10^{1} - 1 = 9

also 9 ist durch 3 teilbar

k \to k + 1

10^{k + 1} - 1 = 10^{1} \cdot 10^{k} - 1

ist jetzt bleibe ich stecken die I.V. habe ich ja herausbekommen aber

10^{1}

ist nicht so wirklich durch 3 teilbar mhm. Obwohl? Was durch 3 teilbares mal

10

ist doch auch durch 3 teilbar? aber reicht das als Begründung?

Respon

22:10 Uhr, 28.10.2014

Nein, so geht's eigentlich nicht.
Behauptung:

10^{k} - 1

ist OHNE Rest durch 3 teilbar.

k = 1

10^{1} - 1 = 10 - 1 = 9 = 3 \cdot 3

also durch 3 teilbar.
Angenommen, es sei schon bewiesen, dass

10^{k} - 1

ohne Rest durch 3 teilbar ist

\Leftrightarrow 10^{k} - 1 = 3 \cdot b_{k}

(

b_{k} \in ℕ)

Betrachten

10^{k + 1} - 1

10^{k + 1} - 1 = 10^{k} \cdot 10 - 1

Es gilt aber schon als bewiesen

10^{k} - 1 = 3 \cdot b_{k}

( siehe oben

) \Rightarrow 10^{k} = 3 \cdot b_{k} + 1

ALSO

10^{k + 1} - 1 = 10^{k} \cdot 10 - 1 = (3 \cdot b_{k} + 1) \cdot 10 - 1 = 30 \cdot b_{k} + 10 - 1 = 30 \cdot b_{k} + 9 = 3 \cdot [10 \cdot b_{k} + 3]

Da in der eckige Klammer eine NATÜRLICHE Zahl steht, bedeutet das, dass

10^{k + 1} - 1

ein VIELFACHES von 3 ist, also durch 3 teilbar ist.

q . e . d

CarlaColumna aktiv_icon

22:35 Uhr, 28.10.2014

Okay, danke ich glaube ich hab's, hoffentlich schreibe ich das noch sauber und korrekt auf :-)

Respon

22:37 Uhr, 28.10.2014

Que tengas una buena noche.

CarlaColumna aktiv_icon

22:38 Uhr, 28.10.2014

Muchas gracias, por ti tambien :-)

Carla

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