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Teilbarkeit und Stellenwertsysteme

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Stellenwertsystem

mümmel aktiv_icon

11:19 Uhr, 31.01.2010

Hallo nochmal ,
folgende Aufgabe verstehe ich auch nicht.

Stellenwertsystem zur Basis 9

1)

die zahl ist größer als

9^{11}

2)

die Zahl ist duirch 4 teilbar

3)

die Zahl ist nicht durch 3 teilbar

Wie kann man solche Zahlen geschickt konstruieren ?
gesucht ind die 5 kleinsten Zahlen mit diesesn Eigenschaften .

Stellenwertsystem zur Basis

10

alle vielfache der Zahl

12

mit

14

Teilern

- \to

Lösungsweg soll man erklären und erklären dass man alle Zahlen gefunden hat.

Ich bitte um Hilfe bei diesen Aufgaben , ebenfalls für die Klausur

vielen vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

12:13 Uhr, 31.01.2010

Hallo Sabrina,

seid ihr immer noch mit diesem Kram beschäftigt?

Naja, gehen wir mal die erste an (die hat mir auch gut gefallen, muss ich mir für meine Aufgabensammlung einverleiben):

Wenn die Zahl

x

größer als

9^{11}

sein soll, so muss gelten:

x > 100.000.000.00 0_{9}

, wobei der Index 9 daruf hindeuten soll, dass die Zahl im Stellenwertsystem zur Basis 9 geschrieben sein soll.

Als nächstes braucht man Teilbarkeitsregeln für 3 und 4 AUF DIESES STELLENWERTSYSTEM bezogen. Allgemein macht man das so (für die Zahl 4):

729 = 9^{3}

81 = 9^{2}

9 = 9^{1}

1 = 9^{0}

Potenzen

1

_______|

1

______|

1

____|

1

____ Reste

Mit anderen Worten: Einer Zahl im Neunersystem ist genau dann durch 4 teilbar, wenn ihre Quersumme es ist. Z.b. ist

100 7_{9} = 1 \cdot 729 + 0 \cdot 81 + 0 \cdot 9 + 7 \cdot 1 = 736

. Die Quersumme

Qs (100 7_{9}) = 1 + 0 + 0 + 7 = 8

ist durch 4 teilbar, ebenso

100 7_{9} = 73 6_{10}

(wobei ich bei Dezimalzahlen auf den Index verzichten werde).

Die Teilbarkeitsregel für 3 ist einfacher, es muss nur die letzte Ziffer durch 3 teilbar sein (geht auf gleiche Weise, oder (einfacher): Jede Potenz von 9 ist durch drei teilbar, nur die nullte nicht).

Also dürfen die gesuchten Zahlen NICHT von der Form

1 x x . x x x . x x x . x x 0_{9}

bzw.

1 x x . x x x . x x x . x x 3_{9}

bzw.

1 x x . x x x . x x x . x x 6_{9}

sein. (Mehr als diese Stellen brauchen wir jedenfalls für die 5 kleinsten Zahlen nicht.)

Ok, nun ist

100.000.000.00 1_{9}

zwar nicht durch 3 aber auch nicht durch 4 teilbar. Die erste durch 4 teilbare Zahl >

100.000.000.00 0_{9}

ist gemäß Teilbarkeitsregel die

100.000.000.00 3_{9}

, die ist aber auch durch 3 teilbar.
Die nächste ist dann

100.000.000.00 7_{9}

. Sie hat alle Eigenschaften, die deine Zahl braucht.
Wieder 4 weiter:

100.000.000.01 2_{9}

(Achtung:

7_{9} + 4_{9} = 1 1_{10} = 9_{10} + 2_{10} = 1 0_{9} + 2_{9} = 1 2_{9}

) tut es auch, leider

100.000.000.01 6_{9}

nicht, da wieder durch 3 teilbar (jede dritte der durch 4 teilbaren Zahlen ist auch durch 3 teilbar).
Aber wieder

100.000.000.02 1_{9}

und

100.000.000.02 5_{9}

100.000.000.03 0_{9}

ist leider wieder durch 3 teilbar, aber

100.000.000.03 4_{9}

nicht.

Also sind deine 5 kleinsten Zahlen, die durch 4 aber nicht durch 3 teilbar und größer als

100.000.000.00 0_{9}

sind:

100.000.000.00 7_{9}

100.000.000.01 2_{9}

100.000.000.02 1_{9}

100.000.000.02 5_{9}

100.000.000.03 4_{9}

Natürlich kannst du auch

9^{11}

umrechnen ins Dezimalsystem, die nächste durch 4 teilbar Zahl suchen und von dort aus in Viererschritten vorwärts. Dann musst du aber zurück umwandeln, geht meiner Meinung nach auch nicht schneller.

Bei der anderen Aufgabe (Vielfache von 12 mit genau 14 Teilern) denke ich, dass ich in früheren postings genügend Erklärungen gegeben habe, als dass du das jetzt allein lösen können solltest. Denke an die Teilerfunktion! Melde dich nochmal, wenn du Probleme damit hast.

Mfg Michael

mümmel aktiv_icon

18:35 Uhr, 31.01.2010

Ah Danke schön , ich glaube ich habe das Prinzip verstanden. nur stellt sich mir die frage , wie man auf

100.000.000.012

kommt , also das das durch 4 und nicht durch 3 teilbar ist denn durch die Quersumme erhält man

13

und

13

ist nicht durch 4 teilbar genauso wenig wie durch 3.

und wie komme ich aus dem Stellwertsystem 9 zum 10er Stellenwertystem??

lg und danke schön

michaL aktiv_icon

19:29 Uhr, 31.01.2010

Hallo Sabrina,

vielleicht sind die wichtigen Dinge in der Menge Text untergegangen, daher hier noch einmal knapper:
* eine Zahl im Neunersystem ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Quersumme der Ziffern der Zahl (im Neunersystem) durch 4 teilbar ist.
* eine Zahl im Neunersystem ist genau dann durch 3 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch 3 teilbar ist, also genau dann, wenn die letzte Ziffer 0 oder 3 oder 6 ist.

Die Zahl

1.00.000.000.01 2_{9}

hat die Quersumme 4 (1+1+2) und ist damit durch 4 teilbar. Die letzte Ziffer ist weder 0 noch 3 noch 6, also ist

1.00.000.000.01 2_{9}

NICHT durch 3 teilbar.

So, kürzer, knapper klarer.
Wie du auf die Quersumme 13 kommst, musst du erklären, denn da steh ich fassungslos davor.

Mfg Michael

mümmel aktiv_icon

20:15 Uhr, 31.01.2010

Ich hatte mich vertan und

1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 12

gerechnet und da ergibt sich dann

1 + 12 = 13

ich hätte

1 + 1 + 2

rechnen müssen , dann wäre auch ich auf 4 gekommen also 4 teilbar durch 4 aber nicht teilbar durch 3 . :-)

nur wir komme ich von einem Stzellenwertsystem zurück zur basis 10??

lg

mümmel aktiv_icon

20:15 Uhr, 31.01.2010

Ich hatte mich vertan und

1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 12

gerechnet und da ergibt sich dann

1 + 12 = 13

ich hätte

1 + 1 + 2

rechnen müssen , dann wäre auch ich auf 4 gekommen also 4 teilbar durch 4 aber nicht teilbar durch 3 . :-)

nur wir komme ich von einem Stzellenwertsystem zurück zur basis 10??

lg

michaL aktiv_icon

23:36 Uhr, 31.01.2010

Hallo Sabrina,

so etwas habe ich mir schon gedacht.

Um wieder in das Dezimalsystem umzurechnen, erlaube ich mir, dir einen Link zum Thema Stellenwertsysteme mitzugeben: de.wikipedia.org/wiki/Stellenwertsystem#Konvertierungen
Dort wird es zwar an einem anderen Beispiel erklärt, du solltest das aber mühelos übertragen können.

Allerdings verstehe ich die Aufgabe so, dass die Ergebnisse im Stellenwertsystem der 9 angegeben werden sollen (wie ich es getan hab). Sollte es anders sein, könnte man die Aufgabe fast einfacher im Dezimalsystem lösen (da weiß man meist aus der Grundschule, wann eine Zahl durch 3 und wann durch 4 teilbar ist).

Mfg Michael

PS: Andere Aufgabe schon gelöst???

mümmel aktiv_icon

09:11 Uhr, 01.02.2010

Nein die andere Aufgabe habe ich noch nicht gelöst .

das umstellen ins 10er System hat natürlich nichts mit dieser Aufgabe zu tun , nur soetwas müssen wir auch können.

michaL aktiv_icon

10:19 Uhr, 01.02.2010

Hallo Sabrina,

ok, dann mal an die zweite Aufgabe. Mache dich vertraut mit der Teileranzahlfunktion

d

. Sie ist eine zahlentheoretische Funktion, d.h. es gilt für teilerfremde Zahlen

x

und

y

d (x y) = d (x) d (y)

.
Außerdem kann man die Anzahl der Teiler einer Zahl ganz genau berechnen, wenn man ihre Primfaktorzerlegung kennt:

d (p_{1}^{e_{1}} p_{2}^{e_{2}} \dots p_{n}^{e_{n}}) = (e_{1} + 1) (e_{2} + 1) \dots (e_{n} + 1)

(Das sind jetzt so die wesentlichen Sachen, die man auch auf de.wikipedia.org/wiki/Teileranzahlfunktion findet.)

Gut, nun zu allen Vielfachen von 12, die genau 14 Teiler haben.

12 = 2^{2} \cdot 3^{1}

hat schon

d (12) = d (2^{2}) d (3^{1}) = (2 + 1) (1 + 1) = 6

Teiler.
14 selbst hat genau 2 Primfaktoren:

14 = 2 \cdot 7

.

Die 2 kommt also schon durch die Teiler zustande, die die 3 (als Teiler von 12) mitbringt. Würde man den Exponenten der 3 erhöhen, würde die 2 als Faktor der 14 zwar frei werden, damit hätten wir aber einen 2. Faktor größer 2 (von 14). Geht also nicht. Also bleibt nur, den Exponenten der 2 (als Teiler der 12) zu erhöhen. Er muss so hoch werden, dass

d (2^{u}) = 7

gilt, also muss

u = 6

sein.

Folglich ist das einzige Vielfache von 12, das genau 14 Teiler hat:

2^{6} \cdot 3 = 192 = 16 \cdot 12

Teiler sind:
1
2
3
4
6
8
12
16
24
32
48
64
96
192

Oder geordnet nach dem System, das mehr der Logik entspricht, die hinter der Anzahl der Teiler steckt:

1.......3
2.......6
4.......12
8.......24
16......48
32......96
64......192

Mfg Michael

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