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Teilbarkeitskriterium zu 7 Beweis

Universität / Fachhochschule

Tags: alternierende Quersumme, Quersumme, Teilbarkeit

math12 aktiv_icon

14:24 Uhr, 27.05.2018

Hallo zusammen,
ich versuche aktuell einen Beweis zum Teilbarkeitskriterium zur 7. Aufgabe lautet:
Sei

a \in ℕ

. Zu zeigen:

7 ∣ a \Leftrightarrow 7 ∣ Q_{3} (a)

, wobei

Q_{3}

die alternierende 3-Quersumme ist.

Mein Ansatz aktuell:
Betrachte die Kongruenzen:

1 0^{0} \equiv_{7} 1

1 0^{1} \equiv_{7} 3

1 0^{2} \equiv_{7} 2

1 0^{3} \equiv_{7} - 1

1 0^{4} \equiv_{7} - 3

1 0^{5} \equiv_{7} - 2

Ab jetzt wiederholen sich die Kongruenzen.

Dann:
Sei

a = 1 0^{0} * a_{0} + 1 0^{1} * a_{1} + 1 0^{2} * a_{2} + . . . 1 0^{n} * a_{n}

.
Dann gilt:

a \equiv_{7} a_{0} * 1 + a_{1} * 3 + a_{2} * 2 - a_{3} * - 1 + a_{4} * - 3 + a_{5} * - 2 + . . .

Weiter gilt

a \equiv_{7} a_{0} * 1 + a_{1} * 3 + a_{2} * 2 + (- 1) * (a_{3} * 1 + a_{4} * 3 + a_{5} * 2) + . . .

Also:

a \equiv_{7} a_{0} * 1 0^{0} + a_{1} * 1 0^{1} + a_{2} * 1 0^{2} + (- 1) * (a_{3} * 1 0^{0} + a_{4} * 1 0^{1} + a_{5} * 1 0^{2}) + . . .

und das ist:

a \equiv_{7} Q_{3} (a)

was zu zeigen war.

Es ist nicht wirklich präzise, weil ich viel offen lassen mit den pünktchen. Aber ich bekomme es nicht hin, die alternierende 3-Quersumme als Formel anzugeben.

Viele Grüße und vielen Dank, ich freue mich auf Feedback.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

22:25 Uhr, 27.05.2018

Hallo
ich würde das nicht als formel schreiben, sondern als Text. man teilt von hinten her die Zahl in 6er Gruppen und wendet jeweis

Q 3

auf jede 6er Gruppe an.am besten nach je

6 mod 7

verkleinern. und dann weiter addieren. oder so ähnlich. natürlich kann man notfalls ne Induktion machen, richtig für eine 6 er Gruppe, richtig für

n \cdot 6

folgt richtig für

(n + 1) \cdot 6

Gruß ledum

Roman-22

22:44 Uhr, 27.05.2018

Vielleicht hilft dir dieser alte Thread von den Kollegen von matheboard
http//www.matheboard.de/archive/499326/thread.html

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