Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Teilbarkeitsregel: Wann Binärzahldurch 3 teilbar

Teilbarkeitsregel: Wann Binärzahldurch 3 teilbar

Schüler Fachgymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Binärsystem, Dualsystem, Teilbarkeitsregeln

ninex3 aktiv_icon

15:22 Uhr, 09.12.2015

Hallo,

Ich hoffe, mir kann jemand helfen. Ich weiß inzwischen, dass eine Binärzahl durch 3 teilbar ist, wenn die alternierende Quersumme durch drei teilbar ist. Was ist allerdings nicht verstehe: Warum?
Kann mir jemande die alternierende Quersumme erklären bzw. Diese Regel?

Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeitsregeln

Werner-Salomon aktiv_icon

23:18 Uhr, 09.12.2015

Hallo,

was eine alternierende Quersumme ist, kannst Du hier nachlesen
de.wikipedia.org/wiki/Quersumme#Alternierende_Quersumme

Es sei

d_{i}

die Ziffer an der

i

-te Stelle einer Binärzahl. Wobei von hinten gezählt wird - also

d_{0}

ist die letzte bzw. kleinstwertigste Ziffer.

Dann kann man jede Binärzahl

b

schreiben als:

b = \sum_{i = 0}^{n} d_{i} \cdot 2^{i}

Ich definiere jetzt ein

k_{i}

wobei

k_{i} = 1

, für

i

gerade
und

k_{i} = - 1

, für

i

ungerade
jetzt erweitere ich den Summenausdruck oben

b = \sum_{i = 0}^{n} d_{i} \cdot 2^{i} - d_{i} \cdot k_{i} + d_{i} \cdot k_{i}

womit nichts verändert wurde, und fasse das etwas anders zusammen

b = \sum_{i = 0}^{n} d_{i} \cdot (2^{i} - k_{i}) + \sum_{i = 0}^{n} d_{i} \cdot k_{i}

Jetzt kann man zeigen, dass jeder Term

2^{i} - k_{i}

durch 3 teilbar ist - versuche mal selber das zu zeigen ;-)
Folglich muss auch die erste Summe durch 3 teilbar sein.
Demnach ist

b

genau dann durch 3 teilbar, wenn

\sum_{i = 0}^{n} d_{i} \cdot k_{i}

durch 3 teilbar ist - und dies ist genau die alternierende Quersumme

Gruß
Werner

Stephan4

01:28 Uhr, 10.12.2015

Kann man das auch so schreiben?

b . .

. Zahl, mit folgenden binären Ziffern

f_{s}, e_{s}, ..., f_{1}, e_{1}, f_{0}, e_{0}

q . .

. Alternierende Quersumme von

b

Ihre Differenz ist immer durch 3 teilbar:

b - q = \sum_{j = 0}^{s} (e_{j} \cdot 2^{2 j} + f_{j} \cdot 2^{2 j + 1}) - \sum_{j = 0}^{s} (e_{j} - f_{j})

= \sum_{j = 0}^{s} e_{j} \cdot (2^{2 j} - 1) + \sum_{j = 0}^{s} f_{j} \cdot (2^{2 j + 1} + 1)

(Jeder Summand dieser Summen ist durch 3 teilbar)

Deshalb ist

b

genau dann durch 3 teilbar,
wenn es auch

q

ist.

Hat aber Werners Idee zur Grundlage.

Man könnte aber vielleicht auch so vorgehen,
indem man die alternierende Quersumme aufschreibt,
und dann
zwei Einsen oder zwei Nullen nebeneinander (ändert nicht
die alternierende Quersumme),
oder die Sequenz "10101" (ändert nicht die Teilbarkeit
durch

3)

einfach streicht.
Bleibt nur noch zu beweisen, dass man mit diesem Kürzen
das Auslangen findet.

:-)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1275310

1275163

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?