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Teiler und Teileranzahl bestimmen

Universität / Fachhochschule

Primzahlen

Tags: Primzahl

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17:34 Uhr, 08.12.2016

Hi Leute ;-)

Folgende Fragen:

1. Ich möchte die Teiler einer Zahl bestimmen:

z . B

56

Mein Ansatz wäre die Primfaktorzerlegung:

1 \cdot 56 = 2 \cdot 28 = 2 \cdot 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7

=2³

\cdot 7

T 56 {1; 2; 4; 7; 8; 14; 28; 56}

Diese Vorgehensweise erscheint mir allerdings nicht sehr mathematisch...
Ich betrachte ja nur ein Produkt und suche mir dann die einzelnen Teilprodukte bzw Faktoren raus, die einen Teiler ergeben.
Gibt es einen eleganteren Weg eine solche Aufgabe zu lösen?

2. Außerdem soll ich alle natürlichen Zahlen, die in ℕ genau sechs Teiler be-
sitzen bestimmen und in "allgemeiner Form" angeben.

Da kam mir bis jetzt nur die Teileranzahlfunktion in den Sinn.
Somit könnte eine Lösung ca so aussehen:
Eine Zahl hat eine Primfaktorzerlegung in der Form:

a^{p} \cdot b^{q}

mit

a, b

Element

N

Aus der Teileranzahlfunktion ergibt sich:

(p + 1) \cdot (q + 1) = 6

und

p, q

Element

N

Somit haben alle Zahlen die sich als:

a^{1} \cdot b^{2}

darstellen lassen (und entsprechend Kommutativ) genau 6 Teiler.
Außerdem müssen a und

b

teilerfremd sein.
denn die Zahl

48

lässt sich als

3^{1} \cdot 4^{2}

darstellen besitzt jedoch nicht genau 6 Teiler.
Macht das ansatzweise Sinn?^^

3. Schließlich soll noch begründet werden, warum

K + 1, K + 2, K + 3, ..., K + 100

Mit

K = 100! (100

Fakultät)

Alle keine Primzahlen sind.
Da stehe ich leider komplett auf dem Schlauch.

Vielen Dank wer sich an die Textwand heran traut
Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

michaL aktiv_icon

17:52 Uhr, 08.12.2016

Hallo,

> Diese Vorgehensweise erscheint mir allerdings nicht sehr mathematisch...

Wieso nicht? Sie führt doch in relativ kurzer Zeit zum Ziel?!

> denn die Zahl 48 lässt sich als

3^{1} \cdot 4^{2}

darstellen besitzt jedoch nicht genau 6 Teiler.

Nun ja. Weiter oben sprachst du ja auch selbst von PRIMfaktorzerlegung. 4 ist nicht prim!
Und übrigens: Betrachte auch die Potenzen einer einzigen Primzahl.

> 3. Schließlich soll noch begründet werden, warum K+1,K+2,K+3,...,K+100
> Mit K=100!(100 Fakultät)
> Alle keine Primzahlen sind.

Eigentlich recht einfach:

2 ∣ 100!

2 ∣ 2 \Rightarrow 2 ∣ (100! + 2)

usw.
Bei "+1" bin ich unsicher. Sicher, dass die mit aufgeführt ist?

Mfg Michael

Coilinc aktiv_icon

15:35 Uhr, 09.12.2016

Vielen Dank hab alles hinbekommen und deinem Tipp zu 2. noch eingebracht.
Bei der 3. Aufgabe hattest du Recht die

+ 1

fehlt und sie war wirklich sehr simpel^^

Liebe Grüße

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