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Teilerfremdheit ungerader Zahlen

Universität / Fachhochschule

Teilbarkeit

Tags: teilerfremd, ungerade Zahl

 
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LeonFischer99

LeonFischer99 aktiv_icon

11:06 Uhr, 21.04.2021

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Hallo liebes Forum,

mein Name ist Leon, ich bin 21 Jahre alt und studiere Informatik. Ich bin neu hier und habe direkt ein Problem. In meiner aktuellen Hausaufgabe zur Veranstaltung Diskrete Strukturen soll ich folgendes Zeigen:

Zeigen Sie, dass zwei aufeinanderfolgende ungerade natürliche Zahlen teilerfremd sind.

Da meine letzte Mathematikvorlesung eine Weile her ist, bin ich etwas eingerostet. Kann mir jemand von euch sagen, wie ich bei so einem Beweis vorgehen muss?

Vieln Dank im Voraus!

Gruß
Leon

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

11:21 Uhr, 21.04.2021

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Da gibt's mehrere Beweismöglichkeiten.
Ich würde so vorgehen. Zwei nacheinanderfolgende ungerade Zahlen können als 2n+1 und 2n+3 geschrieben werden, mit einem passenden n aus 0,1,2,3,....
Wenn sie einen gemeinsamen Teiler t haben, muss 2n+1=ts und 2n+3=tr mit irgendeinen r,s gelten. Dann würde aber 2=(2n+3)-(2n+1)=t(r-s) gelten. Also t wäre ein Teiler von 2. Damit kann t nur 1 oder 2 sein. Wenn t=2, würde 2 eine ungerade Zahl 2n+1 teilen, was nicht möglich ist. Also, t=1. Damit ist t=1 der einzig mögliche gemeinsame Teiler von 2n+1 und 2n+3 => ggt(2n+1,2n+3)=1
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michaL

michaL aktiv_icon

11:37 Uhr, 21.04.2021

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Hallo,

alternativ kann man mit dem euklidischen Algorithmus den ggT(2n+1,2n+3) auch einfach direkt berechnen oder die Eigenschaft ggT(a,b)=ggT(a,b-a) verwenden, die dem euklidischen Algorithmus zugrunde liegt.

Bei letzterem erhält man: ggT(2n+1,2n+3)=ggT(2n+1,2).

Wenn letzterer ggT als 1 vorausgesetzt werden darf, kann man hier aufhören. Ansonsten eben mit dem euklidischen Algorithmus weiter:
ggT(2n+1,2)=ggT(1,2), da 2n+1≡1 mod 2.

Spätestens hier erkennt man, dass ggT 1 ist.

Mfg Michael
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