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angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra

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20:15 Uhr, 30.09.2015

Wenn ich zeigen will, dass eine Menge

T

ein Teilkörper von

R

ist , muss ich ja unter anderem feststellen , für alle

t \in T

gilt

: t^{- 1}

und

- t

ist in

T

T = {e + f \sqrt{4}}, e, f \in Q

Wenn ich weiß , dass

0 \in T

ist, wäre
die Aussage "-t ist in T" dann
durch

e + f \sqrt{4} - (e + f \sqrt{4}) = 0

gezeigt ?

-Wolfgang-

21:29 Uhr, 30.09.2015

Hallo Andrea,

meist du wirklich

T = {e + f \cdot \sqrt{4}}

mit

e, f \in ℚ

?

Dann wäre doch

T = ℚ

VlG Wolfgang

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21:35 Uhr, 30.09.2015

Ich habe natürlich aus Versehen die falsche Menge aufgeschrieben .

T = {e + f \sqrt{5}}

e, f \in Q, \sqrt{5}

nicht in

Q

-Wolfgang-

21:59 Uhr, 30.09.2015

Dann ist doch für beliebiges

x = e_{1} + f_{1} \cdot \sqrt{5} \in T

- x = - (e_{1} + f_{1} \cdot \sqrt{5}) = - e_{1} - f_{1} \cdot \sqrt{5} = (- e_{1}) + (- f_{1}) \cdot \sqrt{5} \in T

weil

- e_{1} \in ℚ

und

- f_{1} \in ℚ

Im Prinzip steht in deiner Gleichung

. .

= 0

auch nichts anderes, weil in einem Körper jede Gleichung der Form

a + x = 0

genau eine Lösung hat.
Aber man weiß ja nie, wie genau "die" es mit Formulierungen nehmen.

W

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22:21 Uhr, 30.09.2015

Danke , das habe ich soweit verstanden .
Wie zeige ich nun , dass die Inverse in der Menge existiert ?

-Wolfgang-

22:31 Uhr, 30.09.2015

Das multiplikative Inverse zu

x := e + f \cdot \sqrt{5} \in T (x \neq 0)

ist

x^{- 1} = \frac{1}{e + f \cdot \sqrt{5}}

Nenner rational machen durch Erweitern mit

e - f \cdot \sqrt{5}

[

durch die binomische Formel fällt unten die Wurzel weg]

dann erhälst du für

x^{- 1}

wieder einen Term der Form

u + w \cdot \sqrt{5}

mit

u, v \in ℚ

W

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00:15 Uhr, 01.10.2015

Alles klar , danke .

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