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Teilmenge auf Vektorraum prüfen

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Lineare Algebra, Vektorraum

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14:45 Uhr, 05.01.2019

Hallo zusammen,

Ich habe folgende Aufgaben:

Es ist zu prüfen, ob folgende Teilmengen einen reellen Vektorraum bildet:

U_{a} = {v = (\binom{a}{b}) \in ℝ^{2} : a \geq 0}

Es muss gelten

λ * v \in U_{a} \forall λ \in ℝ

λ * a \geq 0 \overset{}{\Leftrightarrow} λ \geq 0

Damit ist

U_{a}

kein VR!

U_{b} = {v = (\binom{a}{b}) \in ℝ^{2} : a^{2} + b^{2} \leq 1}

c = (\binom{a_{1} + a_{2}}{b_{1} + b_{2}})

= (\binom{c_{1}}{c_{2}})

c_{1}^{2} + c_{2}^{2} \leq 1

gilt nur, wenn

a_{1} + a_{2} \leq 1

und

b_{1} + b_{2} \leq 1

Damit ist

U_{b}

kein UVR!

U_{c} = {v = (\binom{a}{b}) \in ℝ^{2} : a + 2 b = 0}

Ist eine reeller VR!

U_{d} = {v = (\binom{a}{b}) \in ℝ^{2} : a + 2 b = 1}

Ist kein reeller VR!

Ist das richtig?

Vielen Dank schon mal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

15:42 Uhr, 05.01.2019

Hallo
ja, alles ist richtig, nur bei

c

und

d

fehlt de Beweis.
Gruß ledum

OGLogg aktiv_icon

16:52 Uhr, 05.01.2019

Hi ledum,

danke für deine Hilfe!

zu c) und d)

(\binom{c_{1}}{c_{2}})

= (\binom{a_{1} + b_{1}}{a_{2} + b_{2}})

a_{1} + b_{1} + 2 a_{1} + 2 b_{1} = 0

a_{1} + 2 a_{2} + b_{1} + 2 b_{2} = 0

0 + 0 = 0

wobei man gleich für

U_{d}

1 + 1 \neq 1

Vielen Dank :-)

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