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Teilmengen des R3

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Tags: Basen, Erzeugendensystem, Lineare Unabhängigkeit, Teilmengen

MrVogelkind aktiv_icon

11:30 Uhr, 09.03.2014

Hallo zusammen!

Hab hier eine Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme. Sie lautet:
Gegeben sind die folgenden endlichen Teilmengen des

R 3 : A 1 = {(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})}, A 2 = {(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})},

A 3 = {(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})}, A 4 = {(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})}

a .)

Welcher dieser Teilmengen sind linear unabhängig?

b .)

Welche dieser Teilmengen bilden ein Erzeugendensystem des

R 3

c .)

Welche dieser Teilmengen sind Basen des

R 3

?

Die lineare Unabhängigkeit von

A 1, A 2

und

A 3

habe ich durch die Determinante rausgefunden, es ist

A 1 =

linear unabhängig,

A 2 =

linear unabhängig und

A 3 =

linear abhängig. Aber wie genau soll ich jetzt die lineare Unabhängigkeit für

A 4

bestimmen? Hab mit Gauß-Jordan angefangen, aber kriege nicht wirklich brauchbares raus. (ist das überhaupt der richtige Ansatz?) Und wie genau untersuche ich auf Erzeugendensystem und Basen? Leider weiß ich da nicht so recht weiter.

Gruß,
Karl

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

oculus aktiv_icon

16:57 Uhr, 09.03.2014

Hallo,

eine ähnliche Aufgabe wurde im Forum schon einmal gestellt. Du findest die Frage und die Antwort dazu im nachstehenden Text, den ich mir damals kopiert hatte.

gruß

oculus

- - - - - - -

Hallo,

ich hab eine generelle Frage, die mich beschäftigt:

Gibt es einen Algorithmus, mit dem man aus einer Menge von Vektoren

M = {v_{1}, ..., v_{r}}

ohne Probieren diejenigen Vektoren bestimmen kann, die eine Basis für den von

M

aufgespannten Vektorraum

V

bilden? Nach der zur Basisbestimmung üblichen zeilenäquivalenten Umformung kann man natürlich eine Basis von

V,

nicht aber ohne weiteres die Teilmenge

N \subseteq M

finden, die Basis von

V

ist.

Zur Demonstration eines solchen Algorithmus schlage ich folgende Vektorenmenge vor:

M = {v_{1} = (1,2,1, - 2,3), v_{2} = (2,5, - 1,3, - 2), v_{3} = (1,3, - 2,5, - 5), v_{4} = (3,1,2, - 4,1), v_{5} = (5,6,1, - 1, - 1)}

.

Für eine Tipp dankbar ist

auris

- - - - - - - - -

Hallo auris,

Der Algorithmus dazu besteht in einer kleinen Modifikation des Gauss-Verfahrens.

Ich nehme einmal dein Beispiel zur Demonstration des Algorithmus:

(1)

Eine Matrix A bilden mit den Vektoren

v_{1}

bis

v_{5}

als Zeilenvektoren.

(2)

Dann Gauss anwenden, aber die entstehenden Null-Zeilen stehen lassen

!!

(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & - 2 & 3 \\ 2 & 5 & - 1 & 3 & - 2 \\ 1 & 3 & - 2 & 5 & - 5 \\ 3 & 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 5 & 6 & 1 & - 1 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & - 3 & 7 & - 8 \\ 0 & 1 & - 3 & 7 & - 8 \\ 0 & - 5 & - 1 & 2 & - 8 \\ 0 & - 4 & - 4 & 9 & - 16 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & - 3 & 7 & - 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 16 & 37 & - 48 \\ 0 & 0 & - 16 & 37 & - 48 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & - 3 & 7 & - 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 16 & 37 & - 48 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Die Zeilennummern der Nicht-Null-Zeilen – also im Beispiel die

1 ., 2

. und 4. Stelle - sind die der gesuchten Basis von span(M)

\Rightarrow v 1, v 2,

und

v 4

bilden eine Basis von

V

und

dim (V) = 3

.
Gruß
oculus

MrVogelkind aktiv_icon

11:13 Uhr, 11.03.2014

Danke für die Antwort! Das erklärt die Sache mit den Basen, aber wie krieg ich denn nun die lineare Unabhängigkeit beim letzten Beispiel raus? Und wie prüfe ich auf Erzeugendensysteme?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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