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Teilmengen einer Menge gerade=ungerade Anzahl
Universität / Fachhochschule
Rekursives Zählen
Tags: Element, Menge, Rekursives Zählen, Teilmenge
 
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Liebe Mitglieder dieses Forums ich habe eine Übungsaufgabe in Mathemtik bekommen, welche ich nicht ganz verstehe. Sie lautet: sei eine nichtleere endliche Menge. Zeigen Sie, dass gleich viele Teilmengen mit gerader Elementanzahl wie solche mit ungerader Elementanzahl besitzt, indem Sie ein Verfahren angeben, das aus den Teilmengen der einen Art umkehrbar eindeutig die der anderen Art erzeugt. Ich bin darauf gekommen, dass die Summe von mit von 0 bis die Anzahl der Möglichen Teilmengen ist. Ebenso gibt es für die ungeraden und geraden dieselbe Anzahl an Teilmengen. Aber wurde das überhaupt gefragt? Bin ich da komplett auf dem falschen Weg? Mir föllt nach ewigen Suchen und Probieren nichts mehr ein. Wäre über jede Hilfe froh. mfg Daniel (Sollte ich meinen Thread im falschen Forum erstellt haben tut es mir leid ich hatte keine AHnung wo der hin passen könnte) |
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Hallo, vielleicht ist das ja ein Anfang: Wenn eine ungerade Anzahl von Elementen besitzt, so kann man jeder Teilmenge von ihr Komplement zuordnen. Das ist eine Bijektion , wo die Potenzmenge von sein soll. Geradzahligen Mengen werden so ungeradzahlige zugeordnet und ungeradzahligen geradzahlige. Jetzt braucht man nur noch einen Trick, diese Weisheit auf eine Menge mit einer geraden Anzahl Elemente geschickt anzuwenden. Irgendwie von der ursprünglichen Menge ein Element wegnehmen oder hinzufügen? Gruß ermanus |
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Vielen Dank für deine schnelle Antwort ich bin leider bis jetzt nicht dazu gekommen ins Forum zu sehen. Ich wäre dir echt dankbar wenn du deine Antwort etwas einfacher ausdrücken würdest ich verstehe zwar die Wörter aber nicht die Idee die du mir vermitteln willst. Mit freundlichen Grüßen Daniel Werner |
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Hab jetzt eine Idee würde ich sagen nur bin ich mir nicht sicher ob das so komplett stimmt und wenn es stimmt wie ich beweisen soll, dass bei über die anzahl die man für gerade bekommt dieselbe ist wie die welche man für ungerade bekommt. puu.sh/rIPfU/0d9cced556.png |
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Hallo Da war angegeben wie du das beweisen sollst, nicht indem du abzählst wie viele es gibt, sondern durch Zuordnung! Gruß ledum |
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Hallo, die Aufgabe ist nur lösbar, wenn man die leere Menge als Menge mit gerader Anzahl an Elementen annimmt, was aber der Standardfall sein dürfte, weil die leere Menge Null Elemente hat und Null . als gerade Zahl gilt. Wenn die Menge eine ungerade Anzahl an Elementen hat, ist die von ermanus angegebene Bijektion von Teilmenge auf Komplementärmenge eine sehr schöne, die sich auch einfach für geradzahlige Mengen benutzen lässt. Wenn die Menge eine gerade Anzahl an Elementen hat, dann wählt man einfach ein beliebiges Element (was es immer gibt, da als nichtleer vorausgesetzt ist!) und baut dazu die durch und die Bijektion von Teilmenge auf Komplementärmenge eindeutig induzierte Bijektion für geradzahlige Mengen. Betrachtet man zunächst nur die Bijektion von Teilmenge auf Komplementärmenge, dann erhält man ein Paar von Teilmengen, die entweder beide geradzahlig sind oder beide ungeradzahlig. Dann findet man in einer der beiden Teilmengen. Jetzt betrachtet man ein weiteres Paar dieser Bijektion, das sich von dem eben betrachteten Paar darin unterscheidet, dass "die Seite wechselt", . wenn beim ersten Paar ist, dann ergibt und somit gilt und . Ausserdem gilt, dass wenn und beide gerade waren, dann sind und beide ungerade und umgekehrt. Im anderen Fall, dass ist und damit ist, wird und damit und . Auch hier werden aus einem Paar ungeradzahliger Mengen ein Paar geradzahliger Mengen und umgekehrt. Die Bijektion, die wir wählen sei die folgende: und . Die Paare der so gewählten Bijektion entsprechen genau der Bijektion für die ungeradzahlige Menge und enthalten zusätzlich zu jedem Paar wobei und ist, noch das Paar . Jedes dieser Paare besteht aus einer geradzahligen und einer ungeradzahligen Teilmenge. |
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OMG sry jetzt hab ich den Beitrag von ermanus endlich verstanden komm mir grad ziemlich dumm vor hahaha. Vielen Dank das ihr euch die Zeit genommen habt mir zu Antworten. Echt ein extrem hilfreiches Forum :-) |
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