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Teilmengen in R^2 zeichnen

Universität / Fachhochschule

Tags: geschlossen, Offen, Teilmenge, zeichnen

Fraenk aktiv_icon

19:22 Uhr, 14.08.2019

Hallo!

Ich habe hier eine Aufgabe, zu der ich leider gar keinen Ansatz habe und auch nicht weiß, wie das gehen soll. Ich kann mir darunter auch nichts vorstellen..

Zur Aufgabe:
Skizzieren Sie die Teilmengen in

ℝ^{2}

. Entscheiden Sie, ob die Menge offen oder abgeschlossen ist.

A = {x \in ℝ^{2} | | x - a | \leq 2}

B = {x \in ℝ^{2} | 0 \leq x_{1} < 1

und

0 \leq x_{2} < 1}

C = {x \in ℝ^{2} | | x - b | \leq | x |}

D = {x \in ℝ^{2} |

x=ta

+ (1 - t) b

mit

t \in [0,1]}

Dabei seien

a = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

und

b = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix})

Wie gehe ich vor? Was sind die ersten Schritte? Und vor allem, wie zeichne ich das Ganze?

Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Gruß
Fraenk

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Bummerang

19:33 Uhr, 14.08.2019

Hallo,

lies doch bitte noch einmal den vom Forum ans Ende Deiner Anfrage gestellten Text, den Du selbst ausgewählt hast. Dann schau bitte bei Deinem Post nach, ob da nicht vielleicht noch was fehlt. Ergänze das fehlende in einem neuen Post und Dir könnte bestimmt jemand helfen. Aber so hält sich die Lust auf Hilfe in Grenzen, gaaaanz engen Grenzen!

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20:27 Uhr, 14.08.2019

Natürlich hätte ich Lösungsansätze oder -versuche mitbeigefügt, allerdings existieren diese nicht.. nicht weil ich davon ausgehe, dass mir geholfen wird, sondern weil ich bezüglich dieser Aufgabenstellung absolut keinen Schimmer habe, wie das funktionieren soll.

: (

In meinem Uniskript wird das nicht erklärt, Fachliteratur habe ich nicht und im Internet finde ich auch nichts Brauchbares.. darum habe ich gehofft hier könnte man mir helfen..

Nur zu

B

könnte ich mir etwas vorstellen:
Wenn ich

x_{1}

als Abszisse und

x_{2}

als Ordinate wähle, dann wäre der

x_{1}

Bereich zwischen 0 und

1 (0

zählt mit dazu). Bei der Ordinate wäre es das Selbe. Ich hätte somit ein Quadrat, mit den Eckpunkten

(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)

. Dabei wären die linke und untere Seite des Quadrats im Bereich enthalten, anders die obere und rechte Seite - diese gehören nicht dazu. Somit wäre die Teilmenge weder offen, noch geschlossen? Das ist aber auch meine einzige Idee, da die Definition in

B

die einzige ist, die man "sehen" kann. Bei den anderen Aufgaben kann ich rein gar nichts erkennen.. Darum habe ich gehofft jemand könnte eine Art schematische Vorgehensweise anhand eines der Beispiel beschreiben :-)

abakus

20:32 Uhr, 14.08.2019

"Nur zu B könnte ich mir etwas vorstellen:"
Na also, geht doch.

Ich übersetze mal A:
Der Abstand eines "Punktes" x zu einem festen "Punkt" a ist kleiner oder gleich 2.

Wenn wir im Moment mal das "kleiner oder" ignorieren:
Was ist der geometrische Ort aller Punkte, die zu einem anderen fest vorgegebenen Punkt den gleichen Abstand (hier den Abstand 2) haben?

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20:47 Uhr, 14.08.2019

"Was ist der geometrische Ort aller Punkte, die zu einem anderen fest vorgegebenen Punkt den gleichen Abstand (hier den Abstand

2)

haben?"
Klingt für mich nach einem Kreis mit Kreismittelpunkt A und Radius

r = 2

?

Und wenn wir das "kleiner oder" nicht ignorieren hätte ich gesagt, es handle sich um eine geschlossene Menge in Form einer Scheibe mit einschließlich dem Radius aufgrund des "Gleichs".

Mein großes Problem besteht wohl darin, dass ich die "Übersetzung" nicht erkenne. Ich hätte ohne deinen Kommentar nicht gewusst, was eigentlich gemeint ist..

: (

abakus

20:51 Uhr, 14.08.2019

Bei C kannst du übrigens das zweite x auch als x-0 schreiben.
Dann heißt es: Der Abstand von x zu b ist kleiner oder gleich dem Abstand von x zu 0.
Der Ort ist übrigens eine Halbebene.

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22:08 Uhr, 14.08.2019

Danke für den Hinweis!

Zu

C .)

Wenn der Abstand

x

b

kleiner gleich dem Nullabstand sein soll und

b

sich bei

(0,2)

befindet, brauche ich den Abstand, bei dem der

x

b

Abstand und der Nullabstand gleich sind. Dieser wäre bei

(0,1)

. Demnach wären alle Punkte oberhalb der waagerechten Gerade, die durch den Punkt

(0,1)

gehen, unsere gesuchte Skizze und die Halbebene, die du angesprochen hast, oder?

Und zu

D .)

habe ich nun folgendes:

x = t a + (1 - t) b

mit

t \in [0,1]

t = 0 \to x = b = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix})

t = 1 \to x = a = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

t = 0,5 \to 0,5 a + 0,5 b = (\begin{matrix} 0,5 \\ 1,5 \end{matrix})

. Dieser Punkt entspricht genau der Mitte zwischen den Punkten a und

b

. Deswegen leite ich ab, dass unsere Teilmenge die Strecke AB ist. Da a und

b

zur Definition dazugehören, ist es eine geschlossene Menge in Form einer Strecke. Ist das richtig?

abakus

20:31 Uhr, 16.08.2019

zu C)
Ja, die Trennlinie ist die "waagerechte" Gerade y=1, und du hast auch richtig über die Zugehörigkeit/Nichtzugehörigkeit dieser Trennlinie zur gesuchten Menge entschieden.

zu D)
Du hast drei Beispielpunkte richtig gefunden. Genau diese Versuche hätte ich dir empfohlen, wenn du nicht selbst die Initiative ergriffen hättest.
Die Schlussfolgerung, dass der gesuchte Ort dann eine gerade Linie (und nicht etwa eine gewundene Kurve) durch diese drei Punkte sein muss, ist aber nicht schlüssig begründet.

Fraenk aktiv_icon

15:12 Uhr, 17.08.2019

Und wenn ich damit argumentiere, dass unser

x

der Definition einer Geradengleichung mit

y =

+ b

gleicht? Reicht das als Beweis?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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