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Teilraumbeweis im C³

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Lineare Unabhängigkeit

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Lineare Unabhängigkeit, Teilräume im C³

pRe27 aktiv_icon

23:11 Uhr, 04.05.2011

Hi Leute,

ich häng hier mit einem (glaube ich) recht simplen Problem. Mir fehlt nur der Ansatz.

Gegeben seien die Mengen

$T_{1} = {[\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}] \in ℂ^{3} | a - b = 0} \subseteq ℂ^{3}$

a) Zeigen Sie, dass T1 ein Teilraum von C³ ist.

Im Zweidimensionalen ist das recht einfach. Kurz zusammengefasst, da gilt a=b sind alle drei Teilraumbeweise recht einfach zu erbringen.

Wie sieht es nun im C³ aus? Was mach ich mit der Komponente c? Sie hat ja keinerlei Zusammenhang mit a und b, lass ich sie bei den Teilraumbeweisen einfach weg, und wenn ja, wie formulier ich das dann?

b) Zeigen Sie, dass die Menge $B = {[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ i \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}]}$ linear unabhängig ist und ein Erzeugendensystem von T1 bildet. Folgern Sie, dass B eine Basis von T1 ist.

Das die beiden Linear unabhängig sind, ist leicht zu überprüfen und auch, dass die beiden ein Erzeugendensystem bilden. Aber wie folgert man daraus, dass B eine Basis von T1 ist. Vorallem dachte ich, man benötigt um eine Basis im C³ zu bilden 3 Vektoren. Hier sind es aber nur 2...?

c) Bestimmen Sie die Dimension von T1

Ich dachte immer die Dimension ist die Anzahl der einzelnen Zeilen in einem Vektor. In diesem Fall also 3. Eine Kommilitone sagte mir aber das die Dimension von T1 gleich 2 ist. Hat es etwas damit zu tun, dass a=b ist? Aber dann ändert doch nicht an der dreidimensionalen Verteilung des Vektors im Raum.

Vielen Dank im Vorraus für eure Hilfe!

pRe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ericsatie76 aktiv_icon

00:37 Uhr, 05.05.2011

a)

Du brauchst doch nur zeigen, dass

0 \in ℂ^{3}, \forall x, y \in T 1

gilt

x + y \in T 1

und das für

λ \in ℂ

und

x \in T 1

gilt

λ \cdot x \in T 1

a = b \Rightarrow T 1 = {(\begin{matrix} a \\ a \\ c \end{matrix}) \in ℂ^{3}}

a, c \in ℂ \Rightarrow 0 = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \in T 1

x, y \in T 1 \Rightarrow (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{x} \\ c_{x} \end{matrix}) + (\begin{matrix} a_{y} \\ a_{y} \\ c_{y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{x} + a_{y} \\ a_{x} + y_{y} \\ c_{x} + c_{y} \end{matrix})

. Da

(a_{x} + a_{y})

und

(c_{x} + c_{y}) \in ℂ

und die Gleichung

a - b = 0

weiter erfüllt ist, ist auch dieses Kriterium erfüllt.

Nimmt nach ein

λ \in ℂ

und multipliziert es mit einem

v \in T 1,

dann ist auch

λ v \in T 1,

λ \cdot a, λ \cdot c \in ℂ

c) T 1

spannt nur eine Ebene auf. Und die ist nunmal 2-dimensional.

bei

b)

habe ich ein Problem. Ich dachte

a, b, c \in ℂ

. Dann kann das keine Basis von

T 1

sein, da

a, b

nur in

ℝ \subseteq ℂ

und

c

nur in

i ℝ \subseteq ℂ . .

. Hm...

Gerd30.1 aktiv_icon

08:35 Uhr, 05.05.2011

Ich würde

b)

einfach so beweisen: Sei

(\begin{matrix} a \\ a \\ c \end{matrix}) \in T_{1},

dann ist

(\begin{matrix} a \\ a \\ c \end{matrix}) = - c i \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ i \end{matrix}) + a \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Bummerang

08:52 Uhr, 05.05.2011

Hallo gerdware,

das beweist nur, dass die beiden Vektoren ein Erzeugendensystem bilden und das ist (Zitat vom Fragesteller) "leicht zu überprüfen". Seinbe Fragestellung hat er deshalb auch genau so formuliert: "Aber wie folgert man daraus, dass

B

eine Basis von

T 1

ist"?

Betrachte die von den beiden Vektoren aufgespannten Unterräume. Diese sind eindimensional und der Durchschnitt der beiden Vektorenmengen ist der Nullvektor, der den trivialen nulldimensionalen Unterraum aufspannt. Für die Dimension eines Raumes

V

mit den beiden Unterräumen

U_{1}

und

U_{2}

gilt:

dim (V) = dim (U_{1}) + dim (U_{2}) - dim (U_{1} \cap U_{2})

Im konkreten Fall also:

dim (T_{1}) = 1 + 1 - 0 = 2

In einem zweidimensionalen Raum ist jedes Erzeugendensystem aus zwei Vektoren auch eine Basis.

Gerd30.1 aktiv_icon

13:16 Uhr, 05.05.2011

Wenn

B

ein linear unabhängiges Erzeugensystem ist, dann ist es per definitionen eine Basis. Da gib es nichts mehr zu folgern

Bummerang

14:30 Uhr, 05.05.2011

Hallo gerdware,

wenn Du geschrieben hättest, dass die Vektoren linear unabhängig sind, wäre das ja akzeptabel gewesen...

pRe27 aktiv_icon

18:21 Uhr, 05.05.2011

@ ericsatie76: Vielen Dank für die Lösung von 1a) jetzt hab ich es glaub ich verstanden!

@gerdware: "Wenn $B$ ein linear unabhängiges Erzeugensystem ist, dann ist es per definitionen eine Basis. Da gib es nichts mehr zu folgern"

Diese Folgerung habe ich auch schon als Definiton gefunden. Aber was eine Basis nun genau ist. Versteh ich nicht:
Folgendes Beispiel: $[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$ bilden doch eine/die Basis des $ℝ³$ . Richtig?<br id="elCustomTag6" />
Wieso sollen dann $[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ i \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}]$ eine Basis des $ℂ³$ bilden?

@ Bummerang: "Betrachte die von den beiden Vektoren aufgespannten Unterräume. Diese sind eindimensional und der Durchschnitt der beiden Vektorenmengen ist der Nullvektor, der den trivialen nulldimensionalen Unterraum aufspannt. Für die Dimension eines Raumes $V$ mit den beiden Unterräumen $U_{1}$ und $U_{2}$ gilt:

$dim (V) = dim (U_{1}) + dim (U_{2}) ? dim (U_{1} ? U_{2})$

$Klingt sehr klug, aber leider versteh ich das nicht so ganz.$

$"Diese sind eindimensional..." Wieso eindimensional. Also mindestens der zweite Vektor von B ist doch zwei-dimensional.$

$Vllt liegt es aber auch daran, dass ich den Begriff Dimension falsch verstehe.$

Bummerang

22:15 Uhr, 05.05.2011

Hallo,

ich bin zwar nicht gerdware, aber da Du an mich auch diverse Fragen gerichtet hast, kann ich die Frage an ihn sozusagen on the fly mitbeantworten.

"Wieso soll dann

[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ i \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}]

eine Basis des

ℂ^{3}

bilden?"

Das hat niemand behauptet! Lies die Aufgabenstellung durch, dort steht: "Folgern Sie, dass

B

eine Basis von

T 1

ist." Und

T_{1}

ist eine Teilmenge des

ℂ^{3},

das steht gleich am Anfang!

"Klingt sehr klug, aber leider versteh ich das nicht so ganz."

dim (.)

ist die Funktion, die einem (Unter-) Vektorraum die Dimension zuordnet. Die Dimension ist nichts weiter als die Mächtigkeit einer Basis. Bei endlichen Mengen, so wie hier ist die Mächtigkeit gleich der Anzahl der Elemente,

d . h

. der Basisvektoren. Bei

T_{1}

hast Du 2 Vektoren, damit ist die Dimension

2,

Betrachtest Du die durch einen Vektor aufgespannten Unterräume, so sind diese natürlich nur von einem Vektor aufgespannt und damit können diese maximal eindimensional sein. Die Dimension hat nichts, aber auch gar nichts mit den im Vektor vorhandenen von Null verschiedenen Elementen zu tun. Und wenn alle 3 Elemente belegt wären, es ist EIN Vektor und deshalb die Dimension maximal EINS. Das Maximal bezieht sich darauf, dass der triviale Vektorraum, der sich als Durchschnitt von

U_{1}

und

U_{2}

ergibt auch von einem Vektor aufgespannt wird, aber dieser Vektor besitzt eine nichttriviale Linearkombination, die Null ergibt, deshalb ist dieser Vektor keine Basis. Mangels weiterer Vektoren in diesem Unterraum gibt es also gar keine Basisvektoren, die Anzahl der Basisvektoren in der Basis ist demzufolge Null und damit auch die Dimension.

"Vllt liegt es aber auch daran, dass ich den Begriff Dimension falsch verstehe." = Anzahl der Vektoren in einer Basis!

pRe27 aktiv_icon

00:28 Uhr, 10.05.2011

Jetzt hats bei mir Klick gemacht. Hatte die letzten Tage viel zu tun. Auch mit anderen mathematischen Problemen.

Vielen Dank für eure Hilfe!

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