Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Teilungsrechnung ?

Teilungsrechnung ?

Schüler

Tags: gegeben, Strecke

stinlein aktiv_icon

19:19 Uhr, 12.04.2019

Hallo, IHR Lieben!
Ich komme bei dieser Rechnung einfach nicht zurecht. Deshalb bitte ich um Hilfe und Erklärung. Danke vielmals schon im Voraus!
Die Aufgabe lautet:
Der Punkt

T

liegt auf der Geraden AB.
Aufgabenstellung:

a)

Leiten Sie eine Formel für

T

her, wenn

T

der Mittelpunkt der Strecke AB ist!

b)

Leiten Sie eine Formel für

T

her, wenn

T

die Strecke AB im Verhältnis

a : b

teilt!

c)

Welche Werte kann

m

annehmen, wenn

T

zwischen A und

B

liegt und von A m-mal so weit entfert ist wie von B?

d)

Leiten Sie eine Formel für den Punkt

T

her, der auf der Geraden AB über

B

hinaus liegt und von A m-mal so weit entfernt ist wie von B. Welche Werte kann

m

annehmen?

stinlein

Die Lösungen:

a) T = \frac{A + B}{2} b) \frac{1}{a + b} \cdot (b \cdot A + a \cdot B) c) T = \frac{1}{1 + m} \cdot (A + m \cdot B)

d) T = \frac{1}{m - 1} \cdot (m \cdot B - A)

Ich hätte einmal vorerst so überlegt.

a)

Wenn

T

der Mittelpunkt einer Strecke ist und ich bezeichne die Strecke AT mit a und die Strecke TB mit

b,

dann ist der Teilungspunkt

\frac{a + b}{2}

Hier schon die erste Frage: warum steht in der Auflösung

\frac{A + B}{2}

Warum verwendet man im Auflöser Großbuchstaben?
Handelt es sich hier um eine Vektorenrechnung?

T =

(Ortsvektor von

A +

Ortsvektor von

B)

geteilt durch 2
Danke vielmals im Voraus für die Unterstützung!
stinlein

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

20:52 Uhr, 12.04.2019

>

Warum verwendet man im Auflöser Großbuchstaben?
Das ist eine sehr gute Frage und die in der Lösung gewählte Bezeichnung ist meiner nach auch schlicht falsch.

>

Handelt es sich hier um eine Vektorenrechnung?

T =

(Ortsvektor von

A +

Ortsvektor von

B)

geteilt durch 2
Offensichtlich ja, gut erkannt.

Es wird A vermutlich einerseits als Bezeichnung/Name des Punktes, andererseits leider aber fälschlicherweise auch für den Ortsvektor

\vec{O A}

des Punktes A verwendet.
Das sollte man nicht machen. Man kann ja zB vereinbaren, dass

\vec{p} := \vec{O P}

der Ortsvektor eines Punkts

P

ist und kann dann bei

a)

etwa

\vec{t} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{b})

schreiben.
Ich vermute jedenfalls, dass die Aufgabe in den Bereich der Rechnung mit Vektoren gehört.

Wenn A und

B

die Bezeichnungen für Punkte sind (und das ist ja anzunehmen, wenn da von der Strecke AB die Rede ist und auch vom Punkt

T),

dann ist der Ausdruck

A + B

einfach nur Unsinn, denn man kann Punkte nicht addieren.
Man kann aber die

x -

und die y-Koordinaten dieser Punkte getrennt addieren und damit die Koordinaten eines weiteren Punkts bestimmen und das ist hier wohl gemeint. Formal korrekt werden so aber die Ortsvectoren der beiden Punkte addiert und man erhält dadurch den Ortsvektor eines weiteren Punkts.

stinlein aktiv_icon

20:56 Uhr, 12.04.2019

Ich bedanke mich ganz herzlich für die ausführliche Erklärung. Bitte, wie gehe ich jetzt schrittweise vor, um eine Formel für

T

herzuleiten, wenn

T

die Strecke AB im Verhältnis

a : b

teilt? Muss ich da vorerst den Einheitsvektor bestimmen?
Welche Strategie verwende ich?
stinlein

Roman-22

21:48 Uhr, 12.04.2019

>

wie gehe ich jetzt schrittweise vor, um eine Formel für

T

herzuleiten, wenn

T

die Strecke AB im Verhältnis

a : b

teilt?
Du hangelst dich mittels Vektoren zum gesuchten Punkt hin und vereinfachst gegebenenfalls das Ergebnis.

Wenn

T

die Strecke

\bar{A B}

innen im Verhältnis

a : b

teilt, dann gilt

\frac{\bar{A T}}{\bar{T B}} = \frac{a}{b}

.
Damit ist

\vec{A T} = \frac{a}{a + b} \cdot \vec{A B}

Der Ortsvektor von

T

ergibt sich somit durch

\vec{O T} = \vec{O A} + \vec{A T} = \vec{O A} + \frac{a}{a + b} \cdot \vec{A B}

Wenn du nun noch

\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A}

einsetzt und vereinfachst, kommst du auf

\vec{O T} = \frac{1}{a + b} \cdot (b \cdot \vec{O A} + a \cdot \vec{O B})

stinlein aktiv_icon

06:30 Uhr, 13.04.2019

Lieber Roman-22!
Allerliebsten Dank. Das hilf mir weiter und ist ganz verständlich erklärt. Ich komme heute erst am Abend nach Hause, dann probiere ich selber noch weiter.
Ich hatte auch versucht, das Verhältnis zu bilden - doch ich kam nicht weiter. Mich stört einfach, dass die Aufgabe so allgemein formuliert ist.
Inzwischen bedanke ich mich bei dir ganz herzlich. Ich freue mich über deinen Post ganz besonders. DANKE! Bis zum späteren Nachmittag bzw. Abend, ich muss leider los.

stinlein

Atlantik aktiv_icon

15:20 Uhr, 13.04.2019

Ich habe mal eine Zeichnung angefertigt, wie du auch an den Teilungspunkt(T) gelangen kannst.

mfG

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

16:51 Uhr, 13.04.2019

Rechenweg:

Es sei:

A (2 | 1)

und

B (5 | 6)

.

Nun soll

\bar{A B}

im Verhältnis

a : b

geteilt werden.

Hilfsgerade durch

A : y = 1

Hilfspunkt

H p_{1} (2 - a | 1

)und Hilfspunkt

H p_{2} (2 - a - b | 1)

Steigung der Geradengleichung durch

H p_{2} (2 - a - b | 1)

und

B (5 | 6)

m = \frac{6 - 1}{5 - (2 - a - b)} = \frac{5}{3 + a + b}

Geradengleichung durch

H p_{1} (2 - a | 1)

mit

m = \frac{5}{3 + a + b}

\frac{y - 1}{x - 2 + a} = \frac{5}{3 + a + b}

y = \frac{5 \cdot (x - 2 + a)}{3 + a + b} + 1 = \frac{(5 x - 10 + 5 a) + (3 + a + b)}{3 + a + b} = \frac{5 x + 6 a + b - 7}{3 + a + b}

Geradengleichung durch A und

B :

y = \frac{5}{3} x - \frac{7}{3}

Den Schnittpunkt für

T

kannst du nun leicht berechnen.

mfG

Atlantik

stinlein aktiv_icon

20:20 Uhr, 13.04.2019

Lieber Atlantik!
Zuerst einmal herzlichen Dank dafür, dass du dich mit meinem Problem - bei

c

und

d

eine Lösung zu finden - so intensiv beschäftigt hast. DANKE, DANKE!
Ich habe leider erst morgen Zeit, mich damit richtig auseinander zu setzen. Kam erst jetzt nach Hause und bin ein bisschen ausgelaugt. Das Interesse bleibt schon aufrecht, deshalb noch rasch diese paar Dankesworte.
Die Aufgabe schaut so einfach aus - ist es aber nicht. Ich glaube, dass die Aufgabe eher als Vektorrechnung gelöst werden muss (soll), werde das nächste Woche noch hinterfragen. Gibt es dafür nicht eine einfachere Lösung, deine scheint mir so auf den ersten Blick recht kompliziert zu sein.
Ganz lieben

D a n k

nochmals und dir noch einen schönen Abend wünscht
stinlein

Respon

20:32 Uhr, 13.04.2019

Fehlt nur mehr

c)

und

d)

in der Aufgabenstellung ?
Überlege, warum

c)

und

d)

spezielle Fälle von

b)

sind.

stinlein aktiv_icon

08:41 Uhr, 14.04.2019

Hallo, liebe respon!
Danke der Nachfrage. Ich bin leider auch bei

b)

noch nicht sicher.Dachte zuerst, ach so ist das, dabei steckte ich dann beim Nachvollziehen fest:
Das Verhältnis der Strecke AT zur Strecke TB = a/b.......OK das hatte ich schon selber raus, aber schon bei der nächsten Zeile klappte es nicht mehr.
Roman-22 schreibt: Damit ist vec(AT) = a/(a+b)*(vec(AB))
Wie kommt man auf

\frac{a}{a + b}

Wäre dankbar für jede Unterstützung. Ich weiß, heute ist eigenltich Ruhetag, Palmsonntag.
DANKE im Voraus!
stinlein

Respon

08:49 Uhr, 14.04.2019

Der Vektor

\vec{A T}

hat eine bestimmten Betrag und eine bestimmte Richtung.
Das Verhältnis

a : b

bedeutet, dass wir den Betrag von

\vec{A B}

vorerst in

a + b

gleiche Teile können, davon entfallen dann auf den Abstand

\bar{A T} a

Teile und auf den Abstand

\bar{T B} b

Teile.
Teile ich den Vektor

\vec{A B}

durch

(a + b),

so erhalte ich einen Vektor mit dem Btrag von einem Teil.
Wenn ich diesen Vektor mit a multipliziere, so erhalte ich den Vektor

\vec{A T}

( EDIT : habe einen Tippfehler ausgebessert )

stinlein aktiv_icon

08:58 Uhr, 14.04.2019

Liebe respon!
Das hast du mir

s u p e r

erklärt - ich habe die vierte Zeile jezt verstanden. Den Gedanken des Einheitsvektors hatte ich schon öfters, wusste aber nicht wie er umsetzen ist. Mal schauen, ob ich nun Romans Anleitung weiter nachvollziehen kann und zum richtigen Ergebnis komme. DANKE! DANKE!
stinlein

Respon

09:06 Uhr, 14.04.2019

Wir habe also

\vec{A T} = \frac{a}{a + b} \cdot \vec{A B}

Da aber nach dem Punkt

T (

Ortsvektor ) gefragt ist, geschieht dies mit einer Vektoraddition.

\vec{O T} = \vec{O A} + \vec{A T} = \vec{O A} + \frac{a}{a + b} \cdot \vec{A B}

. .

. und noch etwas umformen.

stinlein aktiv_icon

09:11 Uhr, 14.04.2019

Liebe respon!
Darf ein ganz kleines Erfolgserlebnis melden. Ich habe die Aufgabe

b)

nun lösen können. DANKE nochmals herzlichst für deinen erklärenden Beitrag hierfür.
Werde mich nun auf die

c)

und

d)

konzentrieren. Vermute, dass ich da nach einigen Stunden des Probierens noch weitere Hilfe von dir brauchen werde. Es war ja auch meiner Ansicht nach die

b)

schon recht schwer.
Inzwischen liebe Grüße
stinlein

Respon

09:17 Uhr, 14.04.2019

Wie ich oben schon erwähnte

: c)

und

d)

sind Spezialfälle von

b)

.
Du musst nur das ursprüngliche Verhältnis

a : b

dementsprechend interpretieren.

stinlein aktiv_icon

11:00 Uhr, 14.04.2019

Ich komme da leider immer zum falschen Ergebnis.
Einheitsvektor

= \frac{1}{m + 1}

Ich bezeichne den Abstand von A nach

T

mit

m

und den Abstand von

T

nach

B

mit 1.
Vektor OT = Vektor OA

+

Vektor AT
Vektor OT = Vektor

0 A +

(1/(1+m))*(Vektor AB)
Vektor OT = Vektor OA

+ + \frac{1}{m + 1} \cdot

(Vektor OB - Vektor

0 A)

Ergebnis 1/(m+1)*(m*Vektor OA

+

Vektor OB)

Irgend etwas mache ich da falsch. Das Ergebnis sollte nämlich so lauten:
1/(m+1)*(Vektor OA

+

m*Vektor OB)
Komme alleine leider nicht weiter. Deshalb bitte ich nochmals um Hilfe.
Ein ganz herzliches Danke im Voraus!
stinlein

Respon

11:09 Uhr, 14.04.2019

Wir können doch

b)

schon als bewiesen ansehen.

c) . .

. wenn

T

zwischen A und

B

liegt und von A m-mal so weit entfert ist wie von B.
Hier wird die Entfernung von

T

nach

B

explizit angesprochen. Bezeichnen wir diesen Abschnitt als eine Längeneinheit, also

1 L E

.
Dann ist der andere Abstand

m

mal so groß, also

m

LE.
Als Verhältnis bekommen wir

a : b = m L E : 1 L E = m : 1

Wir haben also ( bezogen auf

b)) a = m

und

b = 1

Eingesetzt in die Formel:

\frac{1}{a + b} \cdot (b \cdot \vec{O A} + a \cdot \vec{O B}) = \frac{1}{m + 1} \cdot (1 \cdot \vec{O A} + m \cdot \vec{O B})

stinlein aktiv_icon

11:20 Uhr, 14.04.2019

Liebe respon!
Danke, danke für diese wunderbare, verständliche Aufklärung. Jetzt sollte ich eigentlich die letzte Aufabe

d)

selber lösen können. Hoffentlich!
Tausend Dank für diese liebevolle Sonntagsbetreuung!
Herzliche Grüße
stinlein
PS: Ich lasse die Aufgabe noch offen, bis ich zum richtigen Ergebnis gelangt bin. Eventuell erfolgt noch ein Rückfrage???
stinlein

Respon

11:22 Uhr, 14.04.2019

d)

Bisher hatten alle relevanten Vektoren die gleiche Richtung, hier geht aber ein Vektor in die "andere" Richtung.

Oder vielleich hilft eine Skizze:

stinlein aktiv_icon

11:30 Uhr, 14.04.2019

Vielen Dank für den Hinweis. Bin immer noch beim Überlegen, warum es

(m - 1)

heißen musss. Dank dir ganz herzlich inzwischen!
stinlein

Atlantik aktiv_icon

11:54 Uhr, 14.04.2019

Ich habe noch einen Weg zum Teilungspunkt gefunden:

Alles mal mit Zahlen:

A (0 | 0)

und

B (8 | 0)

und

a = 5; b = 7

⊙ A

mit

r = 5

x^{2} + y^{2} = 25

⊙ B

mit

r = 5

{(x - 8)}^{2} + y^{2} = 49

{(x - 8)}^{2} + 25 - x^{2} = 49

x^{2} - 16 x + 64 + 25 - x^{2} = 49

x = \frac{40}{16} \to T (2,5 | 0)

mfG

Atlantik

B i l d :

Atlantik aktiv_icon

11:58 Uhr, 14.04.2019

Gelöscht.

Atlantik aktiv_icon

12:18 Uhr, 14.04.2019

Atlantik

11 : 54

Uhr,

14.04.2019

Dieser Weg ist leider ein Irrtum!

mfG

Atlantik

stinlein aktiv_icon

12:21 Uhr, 14.04.2019

Lieber Atlantik!
Danke dir ganz herzlich, lieber Atlantik, für deinen Beitrag. Machst dir soviel Mühe, vielen lieben DANK! Ich bin es eben auch gewohnt mit Zahlen zu rechnen. Die fehlen mir leider bei dieser Aufgabe. Ich sollte sie allgmein rechnen und mit Vektoren!
Ich lasse mir deine Beispiel abends "durch den Kopf gehen". Habe sie schon ausgedruckt!
Jetzt überlege ich gerade, wenn der zweite Vektor entgegengesetzte Richtung hat, dann ist er minus - aber wie ermittle ich da dann den richtigen Einheitvektor. Ich muss auf Respons Spuren weitermachen. Die Aufgabe

a) b)

und

c)

ist ja schon gelöst. Ein ziemlich langer Thread.
Ich wünsche dir einen schönen - hoffentlich nicht zu kalten weiteren Palmsonntag.
Liebe Grüße
stinlein

PS: Wenn ich für

a = m

und für

b = - 1

in das Ergebnis von Aufgabe

b)

einsezte, dann käme das richtige Ergebnis heraus. Ich bin mir aber über diese Aufgabe nicht im Klaren. Eine Erklärung würde mir schon sehr helfen.

Respon

13:05 Uhr, 14.04.2019

. .

. der auf der Geraden AB über

B

hinaus liegt und von A m-mal so weit entfernt ist wie von B. Welche Werte kann

m

annehmen?
Bezeichnen wir den Abstand

\bar{T B}

mit

1 L E

(= 1

Teil )
Laut Angabe ist

\bar{A T} m

mal so groß wie dieser Abstand, also

m L E

.
Aus wieviel Teilen besteht nun

\bar{A B}

(. .

. man zerrt mich gerade vom Computer weg

!)

stinlein aktiv_icon

16:24 Uhr, 14.04.2019

Liebe respon!
Entschuldige, dass ich jetzt innerlich ein wenig gelacht habe - Ich "schmunzle" immer noch! - so geht es in einer Familie zu, die mit zu wenig Computern ausgestattet ist.
Also ich wiederhole mich:
Abstand BT

= 1

LE
Abstand AT

= m

LE
Die Strecke AB besteht nun aus

(m - 1)

LE
Da hatte ich schon einen Denkfehler. Ich hatte die Strecke AB als

m

LE angenommen, richtig ist aber, dass die Strecke AT

m

LE bezeichnet wird!!!
Ich hoffe, dass ich richtig verstanden habe.
Vektor OT = (1/a+b)*(b*Vektor OA

+

a*Vektor OB) Darf man dieses Ergebnis aus Rechnung

b)

hier wieder verwenden?
Hier komme ich beim Einsetzen nicht zurecht.
Danke, dass du mir geantwortet hast, fein. Ich kann warten, habe heute genug Zeit.
Liebe Grüße
stinlein

Atlantik aktiv_icon

18:03 Uhr, 14.04.2019

zu "c) Welche Werte kann

m

annehmen, wenn

T

zwischen A und

B

liegt und von A m-mal so weit entfert ist wie von B?"

Meine Lösungsvariante:

A (2 | 4)

und

B (3 | 10)

Hilfsgerade durch

A (2 | 4) \to y = 4

H p_{1} (2 - m \cdot a | 4)

und

H p_{2} (2 - m \cdot a - a | 4)

Steigung der Geraden durch

H p_{2}

und

B (3 | 10)

s = \frac{10 - 4}{3 - 2 + m a + a} = \frac{6}{1 + m a + a}

Geradengleichung durch

H p_{1} (2 - m \cdot a | 4)

\frac{y - 4}{x - 2 + m a} = \frac{6}{1 + m a + a}

geschnitten mit

y = 6 x - 8

(Gleichung durch A und

B)

\frac{6 x - 8 - 4}{x - 2 + m a} = \frac{6}{1 + m a + a}

x = \frac{3 m + 2}{m + 1}

und

m + 1 \neq 0

und

m \cdot (a m + a + 1) \neq 0

(Mit Wolfram)

y = \frac{6 \cdot (3 m + 2)}{m + 1} - 8

mit genannten Einschränkungen.

m = 0 \to x = 2

und

y = 4

ist der Punkt A

m = - 3 \to x = \frac{- 9 + 2}{- 3 + 1} = 3,5

und

y = 13

der Punkt liegt nicht auf

\bar{A B}

Mit

m \leq 0

ergeben sich keine Punkte auf

\bar{A B}

mfG

Atlantik

Respon

19:10 Uhr, 14.04.2019

( Endlich wieder das vertraute augenschädigende Flimmern des Monitors vor mir

!)

Deine Überlegungen zuletzt sind korrekt:

\bar{A T}

hat

m L E

und

\bar{A B}

hat

m - 1 L E

.
Wir können ja mal diese Aufgabe ohne Zuhilfenahme von

b)

lösen.

\vec{A T} = \frac{m}{m - 1} \cdot \vec{A B}

\Rightarrow

\vec{O T} = \vec{O A} + \vec{A T} = \vec{O A} + \frac{m}{m - 1} \cdot \vec{A B} =

= \vec{O A} + \frac{m}{m - 1} \cdot (\vec{O B} - \vec{O A}) = \frac{1}{m - 1} \cdot (m \cdot \vec{O A} - \vec{O A} + m \cdot \vec{O B} - m \cdot \vec{O A}) = . .

stinlein aktiv_icon

19:57 Uhr, 14.04.2019

Liebe respon!
Bedanke mich ganz herzlich bei dir für die Mühe. Darf ich nochmals nachfragen. Warum ist der Einheitsvektor hier

\frac{m}{m - 1}

. Ich bin mir da einfach noch nicht sicher!
DANKE!
stinlein

Respon

20:14 Uhr, 14.04.2019

Der Begriff "Einheitsvektor" ist hier nicht korrekt. Ein Einheitsvektor hätte ja den Betrag

1,

was wir wir hier allgemein nicht sagen könne.

Ich versuch's mal so:

Wir hatten

\bar{A T}

hat

m L E

und

\bar{A B}

hat

m - 1 L E

.

Der Vektor

\frac{1}{m - 1} \cdot \vec{A B}

ist der einer

L E

zugeordnete Vektor.
Da

\bar{A T} m L E

hat, bilden wir das m-fache und erhalten

\vec{A T} = \frac{m}{m - 1} \cdot \vec{A B}

Und wie Atlantik richtig bemerkt hat - bei

c)

und

d)

gibt es Zusatzfragen.

stinlein aktiv_icon

20:38 Uhr, 14.04.2019

Herzlichen Dank an alle Helfer. IHR steht einem wirklich bei, wenn man dringend eine Hilfestellung benötigt. DANKE! DANKE!
Danke für die guten Hinweise und Erklärungen! Ich freue mich schon auf die nächste Rechnung!
stinlein

stinlein aktiv_icon

20:43 Uhr, 14.04.2019

IHR Lieben!
Das habe ich erst jetzt gecheckt. Danke für die Rückmeldung. Es heißt ja in der Aufgabenstellung: Welche Werte kann

m

annehmen. Vermutlich muss man diese Frage noch beantworten (bei

c)

und bei

d)

. Dann bitte ich nochmals um Auskunft bzw. um einen Hinweis!
Ich glaube und das sehe ich erst jetzt, dass Atlantik mir das erklären wollte. DANKE!
stinlein

Respon

20:51 Uhr, 14.04.2019

Bleiben wir vorerst bei

c)

Bei dem Begriff "

m -

fache .." erscheint es mir vorerst sinnvoll, nur Werte

\geq 0

zu betrachten.
( Du kannst dir aber auch formal

m < 0

anschauen )

Wir hatten

\vec{O T} = \frac{1}{m + 1} \cdot (\vec{O A} + m \cdot \vec{O B})

Was passiert, wenn

m \to 0

bzw bei

m = 0

?
Was passiert, wenn

m

immer größer wird, als Grenzfall

m \to \infty

stinlein aktiv_icon

21:03 Uhr, 14.04.2019

Ja, wenn

m

gegen 0 geht, dann nähert sich der Vektor

0 T

dem Vektor

0 A

. Bei

m = 0,

da gibt es keinen Teilungspunkt mehr.
Vektor OT = Vektor

0 A

Wenn

m

gegen Unendlich geht, dann nähert sich Vektor

0 T

dem Vektor OB.
Wahrscheinlich Unsinn, was ich da von mir gebe, oder?
stinlein

Respon

21:12 Uhr, 14.04.2019

korrekt !
Eigentlich könnte man

T = A

auch als "Teilungspunkt" bezeichnen, aber in der Angabe steht "ZWISCHEN A und

B

.
Wenn man die Formel etwas anders schreibt, kann man das auch formal zeigen.

\vec{O T} = \frac{1}{m + 1} \cdot \vec{O A} + \frac{m}{m + 1} \cdot \vec{O B}

lim_{m \to 0} \frac{1}{m + 1} = 1

und

lim_{m \to 0} \frac{m}{m + 1} = 0 \Rightarrow . .

lim_{m \to \infty} \frac{1}{m + 1} = 0

und

lim_{m \to \infty} \frac{m}{m + 1} = 1 \Rightarrow . .

.
Zusammen also

: m > 0

stinlein aktiv_icon

21:16 Uhr, 14.04.2019

Ich habe mir notiert:

m

größer 0 und kleiner als Unendlich! Falsch?
stinlein

Respon

21:18 Uhr, 14.04.2019

m > 0

reicht ( da

\infty

ja keine Zahl ist )

stinlein aktiv_icon

21:23 Uhr, 14.04.2019

Muss noch eine Überlegung erfolgen? Entschuldige, dass ich so einfältig frage.
stinlein

Respon

21:24 Uhr, 14.04.2019

Wenn du die negativen Werte vorerst ausklammern willst - nein.

stinlein aktiv_icon

21:28 Uhr, 14.04.2019

Danke, darauf hätte ich vergessen.
Wollte mit der Re beginnen

\frac{1}{- 1 + 1} ...

\frac{1}{0}

Die Division durch 0 ist nicht erlaubt. Also keine Lösung. Negative Zahlen führen zu keiner brauchbaren Lösung.
Stimmt das so?
DANKE FÜR DEINE ANTWORTEN!
stinlein

Respon

21:33 Uhr, 14.04.2019

Aus betrieblichen Gründen muss ich mich in Bälde zurückziehen.
Für

d)

müsste gelten

m > 1 (

hab's aber nicht so genau angeschaut )

Andere Grenz- und Sonderfälle eventuell zu einem anderen Zeitpunkt mit gut durchlüftetem Gehirn angehen.

Gute Nacht !

stinlein aktiv_icon

21:36 Uhr, 14.04.2019

Liebe respon!
Danke, danke! Vielleicht zu einem späteren Zeitpunkt! Ich überlege inzwischen ein wenig.
Gute Nacht!
stinlein

Atlantik aktiv_icon

09:56 Uhr, 15.04.2019

Nun noch

d)

mit meiner Variante:

A (1 | 5

)und

B (2 | 10)

Nun ist

y = 5 x

die Geradengleichung durch A und B.

Hilfsgerade

y = 5

H p_{1} (1 - m a | 5)

und

H p_{2} (1 - m a - a | 5)

Steigung der Geraden durch

H p_{1} (1 - m a | 5

)und

B (2 | 10)

s = \frac{5}{1 + m a}

Geradengleichung durch

H p_{2} (1 - m a - a | 5)

mit

s = \frac{5}{1 + m a}

\frac{y - 5}{x - 1 + m a + a} = \frac{5}{1 + m a}

Dies nun schneiden mit

y = 5 x

\frac{5 x - 5}{x - 1 + m a + a} = \frac{5}{1 + m a}

x = \frac{1}{m} + 2

und

y = \frac{5}{m} + 10

mit

m \neq 0

und

(m + 1) \cdot (a m + 1) \neq 0 (

mit Wolfram)

m > 0

,damit Punkte außerhalb von

B

erreicht werden.

mfG

Atlantik

stinlein aktiv_icon

08:53 Uhr, 16.04.2019

Lieber Atlantik!
Vielen lieben Dank für deine Hilfe. Ich werde nachmittags alles nochmals durchdenken, mitdenken und versuchen, nachzuvollziehen. Vormittags muss ich zum Arzt - weißt ja wielange man da unterwegs ist. Die Aufgabe hat es in sich (Maturaaufgabe???) - ist meiner Meinung nach nicht so einfach zu lösen. Jedenfalls hatten wir so eine Aufgabe noch nie allgemein gerechnet. Das ist mir neu! Gefällt mir aber. Du bist einfach eine treue Seele! DANKE! DANKE!
stinlein

Respon

08:59 Uhr, 16.04.2019

Auch ich finde diese Aufgabe allerliebst.
Wenn bei

d)

die Aufgabendetails beachtet werden sollen ( Gerade durch A und

B

über

B

hinaus

),

dann kann

m

nur Werte größer 1 annehmen.

Liegt

T

sehr nahe bei

B,

dann ist

\bar{T B}

sehr klein im Vergleich zu

\bar{T A},

der Faktor

m

also sehr groß. Bei

m \to \infty

gilt

T \to B

Wandert

T

von

B

weg, so werden beide Abstände größer und das Verhältnis nähert sich 1 an. Der Wert 1 kann aber nicht erreicht werden, da sich die beiden Abstände immer um

\bar{A B}

unterscheiden werden.

Auch rechnerisch läßt sich das nachvollziehen.

\vec{O T} = \frac{1}{m - 1} \cdot (- \vec{O A} + m \cdot \vec{O B}) = - \frac{1}{m - 1} \cdot \vec{O A} + \frac{m}{m - 1} \cdot \vec{O B}

lim_{m \to \infty} - \frac{1}{m - 1} = 0

und

lim_{m \to \infty} \frac{m}{m - 1} = 1

Geht

m \to 1,

so nähert sich

(- \vec{O A} + m \cdot \vec{O B})

dem Vektor

(\vec{O B} - \vec{O A}) = \vec{A B}

an. Im Grenzfall wäre er parallel zu

\vec{A B}

und der Betrag wäre unendlich groß.

Atlantik aktiv_icon

15:32 Uhr, 16.04.2019

Antwort
Atlantik

09 : 56

Uhr,

15.04.2019

Leider sind meine Ausführungen vom obigen Datum hinfällig, da ich grundlegende Erfordernisse zur äußeren Teilung nicht gewusst habe.

mfG

atlantik

Atlantik aktiv_icon

11:30 Uhr, 17.04.2019

Nun noch ein Anlauf:

A (2 | 2)

und

B (4 | 8)

H_{1} : y = 2 \to H p_{1} (2 - m \cdot a | 2)

H_{2} : y = 8 - > H p_{2} (4 - a | 8)

Gerade durch die Hilfspunkte:

\frac{y - 2}{x - 2 + m \cdot a} = \frac{6}{2 - a + m \cdot a}

geschnitten mit

y = 3 x - 4

\frac{3 x - 6}{x - 2 + m \cdot a} = \frac{6}{2 - a + m \cdot a}

x = \frac{4 m - 2}{m - 1}

und

y = \frac{8 m - 2}{m - 1}

(mit Wolfram)

Mir ist nur nicht verständlich, warum das

T

unabhängig von a ist.

mfG

Atlantik

(ergänzt)

Roman-22

11:12 Uhr, 18.04.2019

>

Mir ist nur nicht verständlich, warum das

T

unabhängig von a ist.
Na, weil es nur auf das Verhältnis

m \cdot a : a = m : 1 = \bar{A T} : \bar{B T}

ankommt. Lass dir ein paar deiner Hilfsgeraden für unterschiedliche Werte von a einzeichnen (die geen natürlich alle durch

T)

und du wirst die Strahlensatzeigenschaft erkennen.

Ich gehe davon aus, dass das nun dein letzter "Anlauf" in diesem Thread war. Ich denke, dass "Lösungen", die nur mit konkreten Koordinaten für A und

B

hantieren, eher wenig hilfreich für die gestellte Aufgabe sind, die, wie schon mehrfach vermutet, doch eher mithilfe der Vektorrechnung und natürlich allgemein (und ohne Wolframs Hilfe) gelöst werden muss.

1466338

1465785

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?