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Teilungsverhaltnis im Parallelogramm
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Geometrie
 
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anonymous 18:55 Uhr, 02.05.2005  |
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Hi, ich bin in der 12 Jgst. Wir machen gerade Vektorenrechnung und haben uns in der letzten Zeit mit Teilungsverhältnissen zum Beispiel von Seitenhalbierenden in Dreiecken oder Diagonalen beim Parallelogramm beschäftigt. Könnt ihr mir bei dieser Matheaufgabe helfen? Es ist wichtig: Ein Parallelogramm wird durch die Punkte A,B,C,D bestimmt. Die Strecke CD wird durch den Punkt E im Verhältnis 1:3 [p:q] geteilt. a) welchem Teilungsverhältnis schneiden die Strecken BD und AE einander? b) Die Strecke AD wird durch den Punkt F halbiert. Bestimme die Teilungsverhältnisse auf der Strecke AE und BF, die durch den Schnittpunkt S entstehen. Wo schneidet die Gerade durch D und S die Strecke AB? Ich bin über jede Antwort dankbar |
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Hallo Thomas, solche Aufgaben löst man mit Hilfe einer Vektorkette, d.h. eine Addition von Vektoren von einem Ausgangspunkt entlang der betrachteten Strecken bis zum Ausgangspunkt zurück, so dass ein Nullvektor entsteht. a)Darstellung der betrachteten Strecken durch Vektoren: Achtung alles Vektoren! BC=AD und CD=BA BD=BC+CD=AD+CD AE=AD+DE=AD+3/4*DC=AD-3/4*CD (hier das Verhältnis auf CD 1:3) Ich bezeichne den Schnittpunkt (AE,BD) mit G AG=x*AE GD=y*BD Jetzt die Vektorkette: AG+GD+DA=0 (Nullvektor) AG+GD-AD=0 x*AE+y*BD-AD=0 Weiter von oben einsetzen x*(AD-3/4*CD)+y*(AD+CD)-AD=0 ausmultiplizieren x*AD-3/4*x*CD+y*AD+y*CD-AD=0 AD und CD ausklammern (x+y-1)*AD+(y-3/4*x)*CD=0 Da AD und CD linear unabhängig folgt: x+y-1=0 und y-3/4*x=0 (hier kein Nullvektor sondern die Zahl Null) Gleichungssystem lösen: x=4/7 y=3/7 Schlussfolgerung: G teilt AE im Verhältnis 4:3 oder G teilt BD im Verhältnis 4:3 Gruß Rene |
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