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Teilverhältnisse, analytische Geometrie

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Tags: berechnen, teilungsverhältnisse, Vektorräume

denker08 aktiv_icon

17:07 Uhr, 20.12.2008

Hallo zusammen

ich würde mich freuen, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen kann.
Ich habe Probleme die richtige Herangehensweise an Aufgaben zu Teilverhältnissen zu finden. Deswegen kann ich mit diesen Aufgaben nicht wirklich viel anfangen.

Hier nun die Aufgabe:

In einem Dreieck ABC halbiert der Punkt

M

die Seite AB, der Punkt

P

liegt auf BC. Berechne abhängig von der Lage des Punktes

P,

in welchem Verhältnis sich die Diagonalen AP und CM teilen. Bei welcher Lage von

P

wird eine der beiden Diagonalen von der anderen halbiert?

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe behilflich sein könnte.

Danke im Voraus!!!
Denker

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

munichbb

11:24 Uhr, 21.12.2008

Hi,

Für alle Dreiecke gilt: Wenn

\frac{1}{3}

(CB)= (CP) und

\frac{2}{3}

(BC) = (PB), also Lage von

P : \frac{1}{3}

\frac{2}{3}

auf Seite (BC) so wird die Diagonale (CM) genau von der anderen Diagonale (AP) halbiert.

Gruß
munichbb

denker08 aktiv_icon

13:48 Uhr, 21.12.2008

Kann mir jemand die Aufgabe noch auf einem anderen Weg erklären. Wie gesagt weiß ich immer nicht so recht, wie ich an solche Aufgaben herangehen soll. Würde mich desahlb sehr freuen, wenn mir jemand diese Aufgabe erklären könnte, sodass ich weiß wie ich andere Aufgaben lösen kann.

Vielen Dank

Astor aktiv_icon

19:13 Uhr, 14.02.2009

Hallo,
ich versuche eine Methode darzustellen.
1. Mache ein Skizze.
Hier ein Dreieck mit den Eckpunkten A;B und C.
Die Seiten werden durch Vektoren dargestellt.

A B = \vec{a}; A C = \vec{b}; B C = \vec{b} - \vec{a}

Die Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

sind linear unabhängig.
Schreibe an die Seiten die Vektoren.
2. Stelle den Vektor AP dar.

A P = \vec{a} + λ * (\vec{b} - \vec{a})

3. Stelle den Vektor CM dar.

C M = - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a}

4. Nun geht man eine geschlossene Vektorkette durch, die den gesuchten Teilungspunkt enthält.
Der Schnittpunkt von CM mit AP heiße T.
Also z.B. die Vektorkette ATCA=0
AT+TC+CA=0

A T = α A P; T C = β C M

Gruß Astor

denker08 aktiv_icon

10:52 Uhr, 15.02.2009

Vielen Dank für deine Antwort. Bin jetzt schon nen Schritt weiter. Hab soweit auch alles verstanden.

Wie kann ich jetzt zeigen, in welchem Verhältnis sich AP und CM schneiden. Bzw. zeigen, wann sich die beiden Strecken halbierren.

Grüße

denker08 aktiv_icon

14:19 Uhr, 15.02.2009

Mein einziges Problem ist jetzt noch, wie im Besten die Strecke AS ausdrücken soll.

P

ist schließlich irgendwo auf BC platziert.

z . B

. AS= n*(AP)

- \to

Wie kann ich AP umformulieren??? Da hänge ich eben gerade noch fest. Der Rest des Lösungsvorgangs ist mir klar.

Danke. Viele Grüße

Astor aktiv_icon

14:25 Uhr, 15.02.2009

Hallo,
ich habe in einem früheren Beitrag schon mal AP dargestellt.
AP beschreibt den Weg von A nach P. Du gehst von A nach B, mit dem Vektor

\vec{a}

und gehst dann ein Stück von B nach C.
Also:

A P = \vec{a} + λ (\vec{b} - \vec{a})

Schreib dir mal eine geschlossene Vektorkette hin.
Hier kommen nur die beiden linear unabhängigen Vektoren

\vec{a}; \vec{b}

vor.
Also schön ordnen nach diesen Vektoren.
Wegen der linearen Unahhängigkeit müssen die Vorzahlen gleich Null sein.
Gruß Astor

denker08 aktiv_icon

17:09 Uhr, 15.02.2009

OK

Ich zeig dir mal meine Vorgehensweise:

geschlossene Vektorkette ATCA

\to

AT+TC+CA=0
a und

b

linear unabhängig (muss man das eigentlich auch noch zeigen?!?)

AT= n*AP

\to

n*a+lamda(b-a)
TC= m*CM

\to m \cdot (0.5 a - b)

CA=

- b

\to

AT+TC+CA=0
n*a+lamda(b-a)+m*(0.5a-b)-b=0

jetzt hab ich aber drei unbekannte (n,m,lamda)! Dabei komme ich nicht wirklich auf ein Ergebnis. Hab ich nen Fehler gemacht bzw. kann ich die einzelnen Strecken anders ausdrücken?

Viele Grüße

denker08 aktiv_icon

17:13 Uhr, 15.02.2009

Hallo

unter folgendem Link findest Abituraufgaben aus Bayern, unter anderem zum Thema analytische Geometrie. Ich finde diese Aufgaben ganz hilfreich, da es zu jedem Aufgabenblatt ein Filmchen gibt, wobei man sehen kann wie die Aufgaben genau gerechnet werden können.

Viel Spaß

http//www.abiturloesung.de/

Astor aktiv_icon

17:23 Uhr, 15.02.2009

Also du hast:

n * (\vec{a} + λ (\vec{b} - \vec{a}) + m (\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b}) - \vec{b} = \vec{0}

n * \vec{a} + n * λ \vec{b} - n * λ \vec{a} + \frac{m}{2} \vec{a} - m * \vec{b} - \vec{b} = \vec{0}

\vec{a} (n - n λ + \frac{m}{2}) + \vec{b} (n λ - m - 1) = \vec{0}

Die Vektoren

\vec{a}; \vec{b}

sind linear unabhängig. So wurden sie gewählt; gezeichnet.
Nun kann man n und m in Abhängigkeit von

λ

berechnen.

λ

legt ja die Lage vom Punkt P fest.
Gruß Astor

denker08 aktiv_icon

17:38 Uhr, 15.02.2009

Also löse ich jetzt nach lamda auf und setze dieses Ergenis für lamda ein. So kann ich dann

n

und

m

errechnen, oder?

lamda=

m + 1 : n

?

Grüße

Astor aktiv_icon

17:48 Uhr, 15.02.2009

Nein.
Du hast zwei Gleichungen:
1.

n - n λ + \frac{m}{2} = 0

n λ - m - 1 = 0

1. mal 2:

2 n - 2 n λ + m = 0

n λ - m - 1 = 0

1.+2.

2 n - n λ - 1 = 0

n (2 - λ) = 1

n = \frac{1}{2 - λ}

Dann findest du auch den Wert für m.
Stell dir vor, es sei in einem Beispiel

λ = \frac{1}{3}

Gruß Astor

denker08 aktiv_icon

18:01 Uhr, 15.02.2009

OK ich verstehen die Vorgehensweise.

Ich komme allerdings auf das Ergebnis
n=lamda

+ 0.5

n(2-lamda)-1=0
2n-2lamda-1=0
2n=2lamda

+ 1 | : 2

n =

lamda

+ 0.5

????????

Und jetzt verstehe ich dein Beispiel/ Tipp nicht so ganz. Wähle ich mir für lamda einen Wert?

- \to

und setze das Ergebnis dann in eine meiner beiden Gleichungen ein?

Tut mir Leid, wenn ich dich ständig mit Rückfragen belaste. Deine Wege habe allerdings ich bis jetzt am Besten verstanden. Danke :-)

Viele Grüße

Astor aktiv_icon

18:13 Uhr, 15.02.2009

Nein.
wenn ich so ein Ergebnis habe, dann frage ich mich, ob es stimmen kann.
Der Wert für

λ

liegt ja zwischen 0 und 1. Er beschreibt ja wo der Punkt P auf der Seite BC liegt.
Hast du die Gleichung:

n * (2 - λ) = 1

verstanden?
Um n zu erhalten, muss man die Gleichung nur durch

2 - λ

dividieren.
Gruß Astor

denker08 aktiv_icon

18:19 Uhr, 15.02.2009

Ich habe die Gleichung mit lamda wie eben gerade beschrieben ausgerechnet, also die Klammer aufgelöst und auf die "andere" Seite gebracht. Dadurch bin auf das Ergenis

n=lamda

+ 0.5

gekommen. Allerdings kann ich auch deinen Weg mit geteilt durch (2+lamda) verstehen.

Könntest du mir konkret sagen, wie ich diese Aufgabe jetzt zu Ende bringen kann.

Den Wert für

n

ist ja schon gefunden, allerdings

m,

lamda...fehlen noch. Da stehe ich gerade auf dem Schlauch. Sorry

Astor aktiv_icon

18:41 Uhr, 15.02.2009

Hallo denker08,
In der Gleichung

n * (2 - λ) = 1

ist das "n" mit der Klammer über ein Multiplikationszeichen verknüpft. Die Klammer bringt man weg (auf die andere Seite der Gleichung) durch Division.

Nun zum Wert für "m"
Ich habe die Gleichung Nr. 1. :

n - n * λ + \frac{m}{2} = 0

n (1 - λ) + \frac{m}{2} = 0

"mal 2"

2 n (1 - λ) + m = 0

2 n (1 - λ) = - m

Nun setze ich den errechneten Wert für n in die Gleichung ein. Das hätte man auch schon früher machen können.

\frac{2}{2 - λ} * (1 - λ) = - m

\frac{2 - 2 λ}{2 - λ} = - m

m = \frac{2 λ - 2}{2 - λ}

Der Wert von m wird negativ, weil wir mit

m C M

den Weg von T nach C rückwärts gegangen sind.
Bitte sieh dir an deiner Skizze dei ganzen Wege noch mal genau an.
Schreib an die Seiten die Vektoren und markiere die Pfeile exakt.
Du hast dich auf meine Vorgehensweise eingelassen und bist drangeblieben.
Diese Vorgehensweise ist für alle diese Art Aufgaben zielführend.
Gruß Astor

denker08 aktiv_icon

18:49 Uhr, 15.02.2009

Alles klar. Danke für deine ausführlichen Angaben.

Aber wie bekomme ich jetzt mein Ergebis. Normalerweise kommt doch bei solchen Beweisen

z . B

n = 2 : 5

heraus oder ähnliches. So sollte es auch bei dieser Aufgabe sein.

Für welchen Wert von

P

halbieren sich die Diagonalen - war

z . B

. dann noch eine Frage aus dieser Aufgabe.

Grüße

denker08 aktiv_icon

18:51 Uhr, 15.02.2009

Übrigens habe ich auf deine Art und Weise schon andere Beweise ausprobiert und bin auf ein Ergebnis gekommen. Danke

Nur eben fehlt mir bei der hier gemeinten Aufgabe noch das Ergebnis.

Oder wie würdest du die Aufgabe abschließen?

Viele Grüße

Astor aktiv_icon

19:02 Uhr, 15.02.2009

Hallo,
wenn die Diagonalen sich halbieren sollen, muss m den Wert

- \frac{1}{2}

haben.
Das ist der Fall für

λ = \frac{2}{3}

Aber dann wird die andere Diagonale nicht halbiert.

Das Verhältnis von n zu m kann man auch berechnen. Hängt natürlich auch von

λ

ab.
Gruß Astor

denker08 aktiv_icon

19:11 Uhr, 15.02.2009

Wenn jetzt also

- m =

(2lamda-2)(2-lamda) und

n =

0.5-lamda gilt, in welchen Verhältnis schneiden sich dann die Diagonalen. Das soll ja das Ergebnis dieser Aufgabe sein. Ich weiß gerade nicht wie ich das zeigen soll. Wie rechne ich den letzten Weg noch aus bzw. wie schreibe ich den Weg auf.
Wenn ich das noch weiß bin ich auch still. Sonst quält mich das jetzt die ganze Zeit, wenn ich nicht das Ende kenne. :-)

Danke für deine Geduld.

Astor aktiv_icon

19:15 Uhr, 15.02.2009

Hallo,
also

\frac{m}{n} = \frac{\frac{2 - 2 λ}{λ - 2}}{\frac{1}{2 - λ}}

Wie man zwei Brüche dividiert, das weißt du ja.
Gruß Astor

denker08 aktiv_icon

19:25 Uhr, 15.02.2009

Heißt dein Weg:

m

multipliziert mit n? Ich konnte das gerade nicht lesen.

denker08 aktiv_icon

17:46 Uhr, 16.02.2009

ich komme einfach nicht auf das Ergebnis. Kannst du mir vielleicht dein endgültiges Ergebnis nennen. Danke

Astor aktiv_icon

19:31 Uhr, 16.02.2009

Hallo denker,
ich hoffe dass meine mathematische Schreibweise bei dir richtig ankommt.

Zur Sicherheit: Hast du die Werte für m und für n?
Ich bilde nun: "m:n" mit Formelgenerator:

\frac{m}{n} = \frac{\frac{2 - 2 λ}{λ - 2}}{\frac{1}{2 - λ}}

\frac{m}{n} = \frac{2 - 2 λ}{λ - 2} * \frac{2 - λ}{1} = \frac{2 - 2 λ}{- 1} = 2 λ - 2

Gruß Astor

denker08 aktiv_icon

19:34 Uhr, 16.02.2009

ich habe für

n

den Wert:

n = 0.5 -

lamda

und für

m :

- m =

(2lamda

- 2) \cdot (2 -

lamda)

Sind die beiden Ergebnisse soweit richtig

Grüße denker

Astor aktiv_icon

19:43 Uhr, 16.02.2009

denker,
nein.
Gruß Astor

denker08 aktiv_icon

19:45 Uhr, 16.02.2009

Hallo Astor!

OK. Ich dachte die Ergebnisse stimmen soweit.

Wie heißen sie dann? Könntest du es mir bitte, bitte sagen. Irgendwo haben ich mir dann etwas falschen aufgeschrieben.

Astor aktiv_icon

22:47 Uhr, 16.02.2009

Hallo denker,
also n=1:(2-lambda)
m=(2-2lambda):(lambda-2)
Gruß Astor

denker08 aktiv_icon

08:23 Uhr, 17.02.2009

Hallo Astor!

Danke für deine Antwort. Jetzt kann ich die Gleichungen auch lesen.

Jetzt muss ich doch noch

m : n

rechnen

\to

also das Verhältnis bestimmen. Wie bekomme ich eigentlich einen genauen lamda Wert heraus. Gut, ich weiß das dieser Wert zwischen 0 und 1 liegen muss, aber dazwischen gibt es ja unzählige Werte!!!

Grüße denker

Astor aktiv_icon

09:00 Uhr, 17.02.2009

Hallo denker,
der Wert für lambda hängt von der Wahl für die Lage des Punktes P ab.
Liegt P in der Mitte zwischen B und C, so wäre lambda = 0,5.
Liegt P so, dass er die Strecke BC drittelt, so wäre lambda=1/3.
Gruß
Astor

denker08 aktiv_icon

16:34 Uhr, 17.02.2009

Danke Astor für deine Hilfe.

Damit ist also der Beweis gelöst. Das war ja ein ganzes Stück arbeit.

Grüße Denker

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