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Teleskopsumme

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

jan310 aktiv_icon

10:46 Uhr, 12.06.2021

Gegeben ist folgende Reihe:

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{3^{k}}

Ich soll die Reihe auf Konvergenz untersuchen und wenn möglich den Grenzwert bestimmen.

Da die gegebene Reihe kleiner als die harmonische Reihe ist, sollte sie auch konvergieren. Ich weiß nur nicht wie ich auf den Grenzwert kommen soll. Mache ich das mit einer Umformung zu einer Teleskopsumme? Wenn ja, wie forme ich die Summe um?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

11:00 Uhr, 12.06.2021

Verwende die Formel für die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe mit dem Quotienten

\frac{1}{3} < 1

\to

"Da die gegebene Reihe kleiner als die harmonische Reihe ist, sollte sie auch konvergieren."
Das ist nicht korrekt.

siehe hier:
www.massmatics.de/merkzettel/#!26:-D)as_Majoranten-_und_Minorantenkriterium

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11:14 Uhr, 12.06.2021

Zur Kontrolle:

\to \sum = \frac{1}{2}

jan310 aktiv_icon

11:20 Uhr, 12.06.2021

Danke für die schnelle Antwort, das ist jetzt mein Ergebnis:

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{3^{k}} = \sum_{k = 0}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{k} - 1 = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} - 1 = 0,5

Ich dachte das mit der Konvergenz von Reihen wäre so, dass die harmonische Reihe so eine Art Schranke ist. Alle Reihen, die größer gleich sind divergieren und alle anderen konvergieren.

Respon

11:25 Uhr, 12.06.2021