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Tensorprodukt

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Tags: Tensorprodukt

Hendrik31 aktiv_icon

07:15 Uhr, 05.06.2018

Hallo,
wie könnte ich folgendes am besten beweisen:
Man zeige: es gibt genau eine K-lineare Abbildung

f \otimes g : U \otimes A \to V \otimes B

mit

(f \otimes g) (u \otimes a) = (f \times g) (u, a),

für alle

(u, a) \in U \times A

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

09:42 Uhr, 05.06.2018

Hallo,
die von dir angegebene Zuordnungsvorschrift auf den Erzeugenden landet
in der falschen Zielmenge, nämlich in

V \times B

und nicht in

V \otimes B

.
Gruß ermanus

Hendrik31 aktiv_icon

09:59 Uhr, 05.06.2018

Aber es steht so in der Aufgabe. Warum sollte es falsch sein?
Wie siehst du das?

ermanus aktiv_icon

10:12 Uhr, 05.06.2018

Es ist

(f \times g) (u, a) = (f (u), g (a)) \in U \times V

.
Du möchtest aber insgesamt eine Abbildung

f \otimes g

durch

(f \otimes g) (u \otimes a) = f (u) \otimes g (a)

definieren.
Zeig uns doch mal einen Scan der Originalaufgabe.

Hendrik31 aktiv_icon

11:06 Uhr, 05.06.2018

Schau mal hier

ermanus aktiv_icon

11:25 Uhr, 05.06.2018

Ah,
nun wird es klarer; der Aufgabensteller verwendet

f \times g

nicht
wie üblich.
Hast du denn (i) schon nachgewiesen?
Wenn ja, benötigst du nur noch die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes:
Zu der bilinearen Abbildung

f \times g : (u, a) \mapsto f (u) \otimes g (a)

gibt es genau eine lineare Abbildung

h : U \otimes A \to V \otimes B

mit

f \times g = h \circ φ

, wobei

φ : U \times A \to U \otimes A

die
kanonische Abbildung ist. Dieses eindeutig bestimmte

h

nennen wir

f \otimes g

Hendrik31 aktiv_icon

11:48 Uhr, 05.06.2018

Ja habe ich.
Ich verstehe leider noch nicht, was das Tensorprodukt genau macht. Kennsr du vllt eine gute Internetseite oder ein Buch, dass dieses Thema erklärt?

ermanus aktiv_icon

12:29 Uhr, 05.06.2018

Leider kenne ich da kein entsprechendes Buch und auch keine
Internetseite, die es einfach erklärt.
Du kannst dir aber mal selbst ein paar Beispiele machen,
z.B.

U = ℝ^{2}, V = ℝ^{2}

. Wie sieht eine "typische" Basis
von

U \otimes V

aus, wenn man für

U

und

V

die Standardbasis

e_{1}, e_{2}

nimmt.
wie sieht die Darstellung von z.B.

(a_{1} e_{1} + b_{1} e_{2}) \otimes (a_{2} e_{1} + b_{2} e_{2})

bzgl. der "typischen" Basis von

U \otimes V

aus? etc.
Du musst da selbst ein bisschen experimentieren ...
Gruß ermanus

Hendrik31 aktiv_icon

08:02 Uhr, 06.06.2018

Sorry für die späte Anwort:
Sind die Vektoren aus

U \otimes V

Paare der Gestalt

(u_{i},0)

bzw-

(0, v_{i})

aber was wäre dann der Unterschied zum Kreuzprodukt?

ermanus aktiv_icon

22:33 Uhr, 06.06.2018

Die Vektorräume

U \times V

und

U \otimes V

unterscheiden sich wesentlich.
Ist

u_{1}, u_{2}, \dots, u_{m}

eine Basis von

U

und

v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}

eine Basis von

V

,
so ist

(u_{1}, 0), (u_{2}, 0), \dots, (u_{n}, 0), (0, v_{1}), (0, v_{2}), \dots, (0, v_{n})

eine Basis von

U \times V = U \oplus V

,
woraus i.b.

\dim (U \times V) = m + n

folgt.

u_{1} \otimes v_{1}, \dots u_{1} \otimes v_{n}, \dots u_{m} \otimes v_{1}, \dots u_{m} \otimes v_{n}

ist eine Basis von

U \otimes V

. Damit folgt

\dim (U \otimes V) = m \cdot n

.
In

U \otimes V

gilt

u \otimes v + u ʹ \otimes v = (u + u ʹ) \otimes v

,
in

U \times V

hingegen

(u, v) + (u ʹ, v) = (u + u ʹ, 2 v)

.
In

U \otimes V

gilt mit

r \in K : r (u \otimes v) = (r u) \otimes v = u \otimes (r v)

,
in

U \times V

hingegen

r (u, v) = (r u, r v)

.
Die Rechnregeln unterscheiden sich also erheblich ...

Gruß ermanus

Hendrik31 aktiv_icon

12:57 Uhr, 07.06.2018

Ok die Rechenregeln unterscheiden sich, aber warum hat denn

U \times V

die gleiche Basis wie

U \otimes V

ermanus aktiv_icon

12:59 Uhr, 07.06.2018

Nein,

U \times V

ist isomorph zu

U \oplus V

, nicht

U \otimes V

Hendrik31 aktiv_icon

13:08 Uhr, 07.06.2018

Was wäre denn eine Basis zu

U \otimes V :

Ist

B = {e_{i} : i \in I}

eine Basis von

U

und

C = {f_{j} : j \in J}

eine Basis von

V,

dann ist

U \otimes V

ein Vektorraum, in dem es eine Basis gibt, die auf eindeutige Weise mit den geordneten Paaren des kartesischen Produkts

B \times C = {(e_{i}, f_{j}) : i \in I, j \in J}

der Basen der Ausgangsräume identifiziert werden kann.
Wie kann man sich das vorstellen, also wie sieht die Basis des Tensorraumes aus?

ermanus aktiv_icon

13:13 Uhr, 07.06.2018

Das hast du doch gerade selbst gesagt ...:

(e_{i} \otimes f_{j})_{i \in I, j \in J}

Hendrik31 aktiv_icon

13:16 Uhr, 07.06.2018

Diese Basis schaut dann so aus wie die Basis vom Kreuzprodukt?

ermanus aktiv_icon

13:23 Uhr, 07.06.2018

Nein,
du bringst da immer noch etwas durcheinander.
Das Kreuzprodukt der Räume hat die Basis

{(e_{1}, 0), (e_{2}, 0), \dots, (0, f_{1}), (0, f_{2}), \dots} .

Wenn also die Basis von

U

m

Elemente und die von

V

n

Elemente hat,
hat

U \times V

eine Basis aus

m + n

Elementen,
während die Basis des Tensorproduktes

m \cdot n

Vektoren besitzt,
d.h. so viele, wie es Elemente im Kreuzprodukt

I \times J

der Indexmengen (!)
gibt. Das hat mit dem Kreuzprodukt

U \times V

gar nichts zu tun.

Hendrik31 aktiv_icon

13:35 Uhr, 07.06.2018

Kann man dann sagen, dass die Basis des Tensorprodukt die Basis des Kreuzproduktes enthält?

ermanus aktiv_icon

13:47 Uhr, 07.06.2018

Nein, das sollte man auf keinen Fall tun, wie sollte denn eine solche
Zuordnung auf natürliche Weise aussehen.
Nehmen wir doch mal ein Beispiel

U

mit Basis

e_{1}, e_{2}

V

mit Basis

f_{1}, f_{2}, f_{3}

. Dann hat

U \times V

eine
Basis

(e_{1}, 0), (e_{2}, 0), (0, f_{1}), (0, f_{2}), (0, f_{3})

U \otimes V

hat eine Basis
der Gestalt

e_{1} \otimes f_{1}, e_{1} \otimes f_{2}, e_{1} \otimes f_{3}, e_{2} \otimes f_{1}, e_{2} \otimes f_{2}, e_{2} \otimes f_{3}

.
Welches der Basiselemente

e_{1} \otimes f_{1}, e_{1} \otimes f_{2}, e_{1} \otimes f_{3}, e_{2} \otimes f_{1}, e_{2} \otimes f_{2}, e_{2} \otimes f_{3}

soll denn dann z.B. das

(e_{1}, 0)

sein.
Es gibt hier gar keine sinnvolle oder gar natürliche Zuordnung.
Die beiden Räume

U \times V

und

U \otimes V

haben einfach nichts mit einander zu tun.

Hendrik31 aktiv_icon

13:53 Uhr, 07.06.2018

Ok gut, aber wie sieht beispielsweise

e_{1} \otimes f_{1}

aus?

ermanus aktiv_icon

13:59 Uhr, 07.06.2018

Es sieht überhaupt nicht aus, es ist ein "künstliches Basiselement",
von dem man nur weiß, dass es von

e_{1}

f_{1}

herkommt und sich ansonsten wie
ein linear unabhängiges Element unter seinesgleichen verhält.
Man muss über

e_{1} \otimes f_{1}

gar nichts weiter wissen: es kommt nur auf die
gültigen Rechengesetze an, z.B. die Bilinearität:

(a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2}) \otimes (b_{1} f_{1} + b_{2} f_{2}) = a_{1} b_{1} (e_{1} \otimes f_{1}) + a_{1} b_{2} (e_{1} \otimes f_{2}) + a_{2} b_{1} (e_{2} \otimes f_{1}) + a_{2} b_{2} (e_{2} \otimes f_{2})

Hendrik31 aktiv_icon

14:04 Uhr, 07.06.2018

Aso,

d . h e_{1} \otimes f_{1}

ist sozusagen eine formelle Schreibweise für ein bestimmes Element mit gewissen Eigenschaften?

ermanus aktiv_icon

14:24 Uhr, 07.06.2018

Jawoll.
Natürlich kann man diese Elemente durch bestimmete Isomorphismen
auf andere "wohlbekannte" Basisvektoren isomorpher Vektorräume abbilden.
Als Beispiel nehmen wir

U

mit Basis

e_{1}, e_{2}

und

V

mit Basis

f_{1}, f_{2}

.
Bezüglich dieser Basen haben wir jeden Vektor von

U

und

V

in der üblichen
Koordinatendarstellung (ich schreibe Zeilenvektoren):

e_{1} = (1, 0), e_{2} = (0, 1), f_{1} = (1, 0), f_{2} = (0, 1)

.
Nun ist

U \otimes V

ein 4-dimensionaler Vektorraum,
also als Vektorraum isomorph zum Raum der

2 \times 2

-Matrizen.
Wir können nun z.B. folgende Zuordnung vornehmen:

e_{1} \otimes f_{1} \mapsto (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array})

e_{1} \otimes f_{2} \mapsto (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array})

e_{2} \otimes f_{1} \mapsto (\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array})

e_{2} \otimes f_{2} \mapsto (\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})

.

Nach dieser Zuordnung und Interpretation von

U \otimes V

können wir z.B. rechnen:

(1, 2) \otimes (- 1, 3) = (\begin{array}{cc} - 1 & 3 \\ - 2 & 6 \end{array})

Hendrik31 aktiv_icon

14:33 Uhr, 07.06.2018

Jetzt versehe ich es denke ich:
Was ist denn jetzt genau

(1,2)

ermanus aktiv_icon

14:37 Uhr, 07.06.2018

Das sind die Koordinaten eines Vektors aus

U

bzgl der Basis

e_{1}, e_{2}

, also
der Vektor

1 \cdot e_{1} + 2 \cdot e_{2}

.
Was eine Koordinatendarstellung eines Vektors bzgl. einer Basis ist,
solltest du aber eigentlich wissen ;-)

Hendrik31 aktiv_icon

14:39 Uhr, 07.06.2018

Ja:-)
Daran sieht man ja auch, dass das Tensorprodukt im allgemeinen nicht kommutativ ist.

ermanus aktiv_icon

14:40 Uhr, 07.06.2018

Genau ...

Hendrik31 aktiv_icon

14:46 Uhr, 07.06.2018

Bei der Konstruktion des Tensorprodukts betrachtet man doch den freien Vektorraum über

V \times U

mitasiselementen

e_{v, u}

. Wie sieht da die Gestalt der Basiselemente aus?

ermanus aktiv_icon

14:56 Uhr, 07.06.2018

Das sind einfach alle Vektorpaare

(v, u) \in V \times U

, die jetzt mit

e_{v, u}

bezeichnet werden. Man stellt sie sich als sämtlich zueinender linear unabhängige
Elemente vor, d.h. über einem unendlichen Körper sind diese Basen
unendliche Mengen. Das ist eine sehr abstrakte Vorstellung:
was eben noch Paare von Vektoren waren, wird nun als mit einander
nichts mehr zu tun habende verschiedene Basisvektoren gedeutet ...

So, nun muss ich mich verabschieden, da andere Arbeit ruft :(

Gruß ermanus

Hendrik31 aktiv_icon

14:59 Uhr, 07.06.2018

Vielen Dank dir:-)
Jetzt ist alles viel klarer geworden.
Schönen Tag dir noch:-)

Hendrik31 aktiv_icon

21:41 Uhr, 07.06.2018

Hallo ermanus,
ich habe doch noch eine Frage zum freien Vektorraum

K^{I}

.
Also die Elemente Raumes sind ja Abbildungen. Für diese schreibt man

{(a_{i})}_{i \in I}

und das steht für die Abbildung

a : I \to K

. Dabei hat der

K^{I}

erstmal keine algebraische Struktur. Wenn man jetzt

+

und

\cdot

mal definiert erhält man einen Vektorraum, der alle geforderten Eigenschaften erfüllt.

Z . b

ist die Definition der Addition zweier Abbildungen

{(a + b)}_{i} := (a + b) (i) := a (i) + b (i) := a_{i} + b_{i}

. Das ist sinnvoll, da

{(a + b)}_{i} \in K

und dort ja die Addition definiert ist.
Ich hoffe ich habe das richtig verstanden:
Wenn man jetzt

z . b

den

K^{N}

betrachtet,

N

sollen dabei die natürlichen Zahlen sein, dann ist die Basis wie folgt gegeben;

(e_{i}) \in K^{N}, i \in N

mit

e_{i} (n) = 1

für

i = n

sonst 0.
Wie ist das nun zu verstehen, also das

e_{i}

.
Habe ich die Abbildung

e : N \to K,

wobei ein

i \in N \to n \in K

abgebildet wird.
Wenn nun

i = n

ist die Abbildung

e = 1

oder ?
Mir ist der Formalismus noch nicht ganz klar?

Hendrik31 aktiv_icon

22:18 Uhr, 07.06.2018

Wenn man die Grundmenge des

K^{I}

in diesen einbettet, also die Inklusionsabbildung I

\to K^{I}

betrachtet, mit

i \to e_{i},

kann man I mit der Basis von

K^{I}

identifizieren. Warum ist diese Abbildung bijektiv?

ermanus aktiv_icon

11:42 Uhr, 08.06.2018

Hallo,
zu deinen letzten Posts:
Ist

I

eine beliebige Menge, so definiert man einen freien von

I

erzeugten Vektorraum durch die Menge

K^{(I)}

, und nicht durch

K^{I}

(es sei denn,

I

ist endlich). Gemeint ist damit die Menge aller
Abbildungen

a : I \to K

, wobei

a (i) \neq 0

nur für endlich
viele

i \in I

gilt. Dieser Vektorraum hat eine "Standardbasis"

(e_{i})_{i \in I}

, für deren Elemente

e_{i}

gilt:

e_{i} (j) = {\begin{array}{l} 1, falls i = j \\ 0, falls i \neq j \end{array}}

.
Man kann sich leicht überlegen, dass jedes Element

a \in K^{(I)}

eindeutig als
Linearkombination der

e_{i}

dargestellt werden kann.
Die Zuordnung

i \mapsto e_{i}

ist umkehrbar eindeutig, liefert also
eine (natürliche) Injektion

I \to K^{(I)}

.
Du hast immer

K^{I}

geschrieben. In diesem Raum bilden aber
bei

∣ I ∣ = \infty

die

e_{i}

keine Basis, da sie kein Erzeugendensystem sind.

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

11:50 Uhr, 08.06.2018

Kleine Frage von mir:
Habt ihr wirklich den freien von

U \times V

erzeugten Vektorraum betrachtet,
um daraus das Tensorprodukt durch Übergang zu einem Faktorraum zu konstruieren?
Oder habt ihr den freien von

I \times J

erzeugten freien Vektorraum genommen?

Hendrik31 aktiv_icon

14:41 Uhr, 08.06.2018

Danke für deine Antwort.
Noch eine Frage zu

e_{j} (i)

. Ist das danm die

A

e : I \to K,

wobei

i \to j

?
Ja wir haben das mit dem Faktorraum gemacht. Wir haben

\frac{F^{U \times V}}{U}

betrachtet mit

U

ein lin UR von diesem freien Vektorraum.
Ich schicke dir dann mal ein Bild von der Mitschrift, wenn ich zu Hause bin.
Ich habe ein Skript gefunden, wo es so ähnlich geht. Es geht dabei um die Frage, warum die Basis von

U,

so definiert wird.

U

soll dabei der rausfaktorisierte Unterraum von

F^{U \times V}

sein.
Ich habe mal ein Bild von dieser Stelle angehängt.

Hendrik31 aktiv_icon

19:42 Uhr, 08.06.2018

Hier

Hendrik31 aktiv_icon

19:43 Uhr, 08.06.2018

Nochmal

ermanus aktiv_icon

21:59 Uhr, 08.06.2018

Hallo Hendrik,
vielen Dank für die Scans. So ähnlich wie die Vorlesungsmitschrift das Tensorprodukt
konstruiert, kenne ich die Sache auch. Aber jeder macht es ein bisschen anders
oder verwendet andere Symbole, in deiner Vorlesung etwa:

δ_{x}

für die
charakteristische (Indikator-) Funktion einer einelementigen Menge,
von der Bezeichnung her angelehnt an das berühmte Kronecker-Delta:

δ_{x} (y)

ist sozusagen Kroneckers

δ_{x y}

Wenn du nun eine Verständnisfrage zum Vorlesungstext hast, haben wir jetzt ja eine
gemeinsame Quelle. Also frag ruhig noch ein paar Sachen. Aber ich selbst
werde mich erst morgen wieder "blicken" lassen.

Gruß ermanus

P.S.: natürlich muss ich auch anderen Studenten und Studentinnen helfen ;-)

Hendrik31 aktiv_icon

22:19 Uhr, 08.06.2018

Danke ermanus:-)
Ich habe egtl nur noch 2 Fragen.
1. Zur Notation

e_{i} (j

),wie ich vorher geschrieben habe:
"Ist das danm die Abbildung

e : I \to K,

wobei

i \to

j?"
2. Wenn man den Unterraum

B

betrachtet, warum ist dann die im Skript angegebene Basis eine Basis?
Inwiefern macht das Sinn. Man definiert es ja am Ende so, dass sich die gewünschten Eigenschaften ableiten?

Hendrik31 aktiv_icon

12:51 Uhr, 10.06.2018

Kannst du mir nur noch diese 2 Fragen beantworten?

ermanus aktiv_icon

13:19 Uhr, 10.06.2018

Hallo Hendrik,
leider habe ich nicht immer soviel Zeit, aber gerade
habe ich eine Zeitlücke entdeckt ;-)

Bei deiner Frage 1 weiß ich nicht so recht, wo dei

e_{i}

liegen sollen.
Ist das die Situation:

I

eine Menge,

K^{(I)}

der freie K-Vektorraum,
der von

I

erzeugt wird?
Da war ja für jedes

i \in I

die Funktion

e_{i} \in K^{(I)}

definiert
durch

e_{i} (j) = δ_{i j}

e

würde man dann auffassen als
Abbildung

I \to K^{(I)}, i \mapsto e_{i}

, die injektiv ist,
so dass man

I

mit seinem Bild in

K^{(I)}

identifizieren kann.
War das deine Frage 1 ?

In der Vorlesung heißen die Dinge dann eben

δ_{u}

, usw.

Frage 2 kommt später ...

Hendrik31 aktiv_icon

07:52 Uhr, 18.06.2018

Sorry ich habe nicht gesehen, dass du geantwortet hast.
Warum wird die Basis des Unterraums

B

so gewählt?

ermanus aktiv_icon

10:42 Uhr, 18.06.2018

Hallo,
ich sehe in deiner Vorlesungsmitschrift nirgendwo etwas
über eine Basis von

B

. Das wäre auch eher ungewöhnlich, da
diese sicher sehr schwer explizit zu beschreiben wäre.
Gruß ermanus

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