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Tensorprodukt

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Tags: Gruppen, Körper, Ring

 
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Matillo

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12:16 Uhr, 20.02.2020

Antworten
Sei M ein zwei dimensionales Gitter . Was heißt genau α,βM? Sind α,β dann u.a auch in M ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ermanus

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12:51 Uhr, 20.02.2020

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Hallo,
es ist nicht ganz klar, ob Du mit M einen freien -Untermodul
eines 2-dimensionalen Vektorraums über einem Körper K (welcher Körper?),
der den ganzen Vektorraum über K aufspannt, meinst oder
einen abstrakten freien -Modul vom Rang 2.
In beiden Fällen hat man eine -Basis {u1,u2} von M:
M=u1u2.
Die Elemente des Tensorproduktes haben dann die Gestalt
u1r1+u2r2 mit r1,r2.
Wenn also α und β Elemente des Tensorproduktes sind,
müssen sie keineswegs in M liegen.
M ist ein zweidimensionaler -Vektorraum
mit z.B. der Basis {u11,u21}.
Gruß ermanus

Matillo

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14:03 Uhr, 20.02.2020

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Hallo ermanus,
danke fuer deine Antwort!
Sorry habe mich bisschen unklar ausgedrueckt. Ich meine wenn z.B K ein quadratischer Zahlkoerper ist und man darin ein Ideal M als Gitter nimmt.
Antwort
ermanus

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14:15 Uhr, 20.02.2020

Antworten
Dann bleibt für mich die Frage, über welchem Ring
tensoriert wird, ich nehme mal M an,
indem man als Unterring von auffasst,
d.h. man nimmt eine Skalarerweiterung von zu vor.
Man bildet also formal Elemente aus 1D.
Das ist ein 2-dimensionaler Vektorraum über .

Frage beantwortet
Matillo

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18:20 Uhr, 20.02.2020

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Ich denke schon, danke nochmals !
Matillo

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23:03 Uhr, 20.02.2020

Antworten
Hallo ermanus,

wenn ich ein Gitter L in K, einem quadratischen Zahlkoerper betrachte. Dann soll L=(D) sein. Mir ist leider noch nicht ganz klar wie man genau damit arbeitet. Der Hintergrund dabei ist: Wenn L in K ein Gitter ist, kann man das zu L duale Gitter definieren L*={yL(x,y)fuerallexL}.
Antwort
ermanus

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13:32 Uhr, 21.02.2020

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Wir haben K=[D]. Ein 2-dimensionales Gitter L ist ein
freier -Modul, dessen Basis eine Basis des -Vektorraums
K ist. Es gibt also α1,α2K, so dass
L=α1α2 ist und α1,α2 eine -Basis voin K bilden.
Wir "basteln" uns auf folgende Weise einen -Modulisomorphismus
f:KL. Jedem xK ordnen wir folgendermaßen ein Element
aus L zu:
Es gibt eindeutig bestimmte x1,x2 mit x=x1α1+x2α2,
sei x1=p1/q1,x2=p2/q2 mit ganzen Zahlen p1,p2,q1,q2.
Dann ist q1q2x=p1q2α1+p2q1α2L.
Nun definieren wir
f(x)=(p1q2α1+p2q1α2)(1q1q2)L.
Man kann sich nun davon überzeugen, dass diese Zuordnung
unabhängig von der Bruchdarstellung von x1,x2 ist, also eine
wohldefinierte Abbildung liefert. Diverse Sätze aus der Algebra (siehe z.B. Bourbaki, Algebra II)
sagen dann, dass dies ein -Isomorphismus ist, gemäß dem man dann beide
Seiten bzgl. ihrer Vektorraumstruktur miteinander identifizieren kann.
Die rechte Seite von f nennt man bisweilen auch "Nenneraufnahme":
die ganzzahligen Linearkombinationen von α1,α2 werden zu rationalen erweitert.
Gruß ermanus
Frage beantwortet
Matillo

Matillo aktiv_icon

14:39 Uhr, 21.02.2020

Antworten
Vielen Dank fuer deine Antwort!^^