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Sei ein zwei dimensionales Gitter . Was heißt genau ? Sind dann u.a auch in ? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, es ist nicht ganz klar, ob Du mit einen freien -Untermodul eines 2-dimensionalen Vektorraums über einem Körper (welcher Körper?), der den ganzen Vektorraum über aufspannt, meinst oder einen abstrakten freien -Modul vom Rang 2. In beiden Fällen hat man eine -Basis von : . Die Elemente des Tensorproduktes haben dann die Gestalt mit . Wenn also und Elemente des Tensorproduktes sind, müssen sie keineswegs in liegen. ist ein zweidimensionaler -Vektorraum mit z.B. der Basis . Gruß ermanus |
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Hallo ermanus, danke fuer deine Antwort! Sorry habe mich bisschen unklar ausgedrueckt. Ich meine wenn z.B ein quadratischer Zahlkoerper ist und man darin ein Ideal als Gitter nimmt. |
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Dann bleibt für mich die Frage, über welchem Ring tensoriert wird, ich nehme mal an, indem man als Unterring von auffasst, d.h. man nimmt eine Skalarerweiterung von zu vor. Man bildet also formal Elemente aus . Das ist ein 2-dimensionaler Vektorraum über . |
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Ich denke schon, danke nochmals ! |
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Hallo ermanus, wenn ich ein Gitter in , einem quadratischen Zahlkoerper betrachte. Dann soll = sein. Mir ist leider noch nicht ganz klar wie man genau damit arbeitet. Der Hintergrund dabei ist: Wenn in ein Gitter ist, kann man das zu duale Gitter definieren . |
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Wir haben . Ein 2-dimensionales Gitter ist ein freier -Modul, dessen Basis eine Basis des -Vektorraums ist. Es gibt also , so dass ist und eine -Basis voin bilden. Wir "basteln" uns auf folgende Weise einen -Modulisomorphismus . Jedem ordnen wir folgendermaßen ein Element aus zu: Es gibt eindeutig bestimmte mit , sei mit ganzen Zahlen . Dann ist Nun definieren wir . Man kann sich nun davon überzeugen, dass diese Zuordnung unabhängig von der Bruchdarstellung von ist, also eine wohldefinierte Abbildung liefert. Diverse Sätze aus der Algebra (siehe z.B. Bourbaki, Algebra II) sagen dann, dass dies ein -Isomorphismus ist, gemäß dem man dann beide Seiten bzgl. ihrer Vektorraumstruktur miteinander identifizieren kann. Die rechte Seite von nennt man bisweilen auch "Nenneraufnahme": die ganzzahligen Linearkombinationen von werden zu rationalen erweitert. Gruß ermanus |
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Vielen Dank fuer deine Antwort!^^ |