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Tensorprodukt messbarer Funktionen messbar

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Maßtheorie

Tags: Maßtheorie

qwertz789 aktiv_icon

12:46 Uhr, 15.05.2016

Hallo,
ich habe zwei messbare Funktionen

f : ℝ^{p} \to ℝ

und

g : ℝ^{q} \to ℝ

gegeben und soll zeigen, dass ihr Tensorprodukt

f \otimes g : ℝ^{p} \times ℝ^{q} \to ℝ, (x, y) \mapsto f (x) g (y)

dann ebenfalls messbar ist.
Sei also dazu

A \subseteq ℝ

messbar. Dann ist zu zeigen, dass auch

(f \otimes g)^{- 1} (A) \subseteq ℝ^{p + q}

messbar ist. Dabei ist im Bildbereich

ℝ

Borel-messbar und im Urbildbereich

ℝ^{p + q}

Lebesgue-messbar gemeint. Nun ist also A irgendein abgeschlossenes, offenes oder halboffenes Intervall in

ℝ

. Dann gilt

(f \otimes g)^{- 1} (A) = f^{- 1} (A) \times g^{- 1} (A)

und da das kartesische Produkt Lebesgue-messbarer Mengen wieder Lebesgue-messbar ist (muss nicht gezeigt werden), ist auch das Urbild von A Lebesgue-messbar. Da A beliebig war, ist somit

f \otimes g

Lebesgue-Borel-messbar. Das einzige, was also noch zu zeigen bleibt, ist die Gleichheit zwischen

(f \otimes g)^{- 1} (A)

und

f^{- 1} (A) \times g^{- 1} (A)

für eine Menge

A \subseteq ℝ

.

Sei dazu zunächst

(x, y) = (x_{1}, . . ., x_{p}, y_{1}, . . ., y_{q}) \in (f \otimes g)^{- 1} (A)

. Dann existiert ein

a \in A

mit

(f \otimes g) ((x, y)) = f (x) g (y) = a

. Damit existiert auch ein

b := \frac{a}{g (y)}

mit

f (x) = b

, also

x \in f^{- 1} (b) \subseteq f^{- 1} (A)

. Mit y ginge das analog, also bleibt nur zu zeigen, auch wirklich

b \in A

und damit

f^{- 1} (b) \subseteq f^{- 1} (A)

gilt. Denn mit

x \in f^{- 1} (A)

und

y \in g^{- 1} (A)

würde insgesamt

(x, y) \in f^{- 1} (A) \times g^{- 1} (A)

folgen und damit schon mal die eine Inklusion.

Könnte mir jemand einen Tipp geben, wie ich

b \in A

zeigen kann?

LG

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