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Term Umformen
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Term
 
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Seid gegrüßt Freunde der Mathematik oder so... :D
Wie komme ich von auf den Wert hinter dem ist-gleich-zeichen???
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Sei gegrüsst, süsse Gwendoline oder so Es ist ja (-3)*(-3)*(-3) = -27 Darum ist die dritte Wurzel aus -27 gleich -3. Du weisst auch: bei einem Produkt darf man die Wurzel aus den einzelnen Faktoren ziehen. In der Wurzel steht im Zähler -54. Das kann geschrieben werden als (-27)*2. Nun zieht man aus der (-27) die 3. Wurzel, und das Übrige hat in der Wurzel zu bleiben, weil sich da nichts mahr tun lässt. Ich wünsche dir noch süsse Wurzelträume und ein erholsames Wochenende. Alle klar? Gruss Paul |
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Danke schön, das hat mir sehr geholfen!
Und dito! :) |
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Hallo Gwendoline, woher stammt diese Aufgabe? Aus deinem Mathebuch? Ich frage, weil diese Wurzel (streng mathematisch betrachtet) gar nicht definiert ist. Zwar hat die Gleichung x^3 = -27 eine Lösung, nämlich x=-3, aber diese Zahl kann nicht durch "dritte Wurzel aus (-27) dargestellt werden, weil jede Wurzel gleichbedeutend ist mit einer Potenz, deren Exponent einBruch ist: Statt "dritte Wurzel aus (-27)" also auch: (-27) hoch ein Drittel. Potenzen mit gebrochenen Exponenten sind aber nur für eine nicht-negative Basis definiert. Wären negative Basen erlaubt käme man z. B. mit folgender Rechnung auf einen Widerspruch: Links steht die Zahl -3. Die gibt es. Rechts steht die 6. Wurzel aus einer negativen Zahl. Die gibt es in der Menge der reellen Zahlen aber nicht. Denn diese Zahl müsste eine Lösung der Gleichung x^6 = - 27 sein. Eine gerade Potenz einer reellen Zahl kann aber nie negativ sein. Rechts steht also ein Term der nicht definiert ist. Die Zahl -3 kann aber nicht gleich einem nicht definierten Term sein, d.h. diese Zeile stellt einen Widerspruch dar.
MfG mokka60
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Das ist aus einem Abitur und so stehts in den Lösungen... aber der Weg eben nicht... .
Hab aber noch eine Frage... wie komme ich von diesem Term
Warum formen sie das auch immer um? Ich hab den Term auch umgeformt und zwar in:
Danke für eure Hilfe!
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Hi dein Ansatz ist richtig. Du mußt ihn nur noch weiterführen: 2/3*(2/a)^(-4/3) = 2/3*(a/2)^(4/3) = 2/3*(a/2)^(1/3)*(a/2)^(3/3) = a/3*(a/2)^(1/3) q.e.d. Hoffe mal, du kannst es erkennen. Der Formeleditor funktioniert bei mir leider nicht. @Mokka60: Zu deinem Beweis hab ich mal eine Frage: Ist die Gleichung nicht wegen (6teWurzel(-27))^2 = 6teWurzel((-27)^2) doch definiert? Ich bin mir bei der Definition von Wurzeln nicht mehr ganz sicher, aber geradzahlige wurzeln kann ich doch auch als +-sqrt(x) schreiben, womit die Gleichung lösbar wäre. Würde mich über eine Antwort freuen. Grüße MBler |
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Hallo MBler07
die Antwort von Mokka60 ist ja völliger Blödsinn! Er hat offensichtlich noch nie etwas von komplexen Zahlen gehört!
Ich will jetzt keinen Exkurs darüber machen, aber ich zeige dir, wie unsinnig die oben angegebenen Schlussfolgerungen sind, indem ich auf die gleiche Art "beweise", dass man eine negative Zahl nicht quadrieren kann, Z.B. -3: Nun kann man aber, gemäss Mokka60, aus (-3) keine Wurzel ziehen, und somit kann man (-3) auch nicht quadrieren!
Alles klar?
Gruss
Paul |
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Hallo Paulus, vielleicht sollte man die Ausführungen eines anderen erst mal genau lesen, bevor man sie als "völligen Blödsinn" bezeichnet. Bitte nachlesen: Ich habe geschrieben:
(...) Potenzen mit gebrochenen Exponenten sind aber nur für eine nicht-negative Basis definiert. (...)
Und etwas weiter unten:
(...) Rechts steht die 6. Wurzel aus einer negativen Zahl. Die gibt es in der Menge der reellen Zahlen aber nicht.
Sowohl Ihre "Belehrung" in Bezug auf komplexe Zahlen als auch Ihr "Gegenbeispiel" läuft also ins Leere. Denn solange Sie bei natürlichen Exponenten bleiben, ist (-3)^2 selbstverständlich definiert und ergibt 9. Sobald Sie aber im Exponenten von der natürlichen Zahl 2 zum Bruch 4/2 übergehen, muss für die Basis dieser Potenz die für gebrochene Exponenten notwendige Einschränkung gelten. Das ist die in der Mathematik üblicheDefinition, damit im Exponenten mit Brüchen ohne irgendwelche Einschränkungen gerechnet werden kann. Wollte man diese Einschränkung für die Basis nicht machen - in Definitionen ist man schließlich frei, solange man damit keine Widersprüche erzeugt - so könnte man in den Exponenten das Rechnen mit Brüchen nicht mehr unbeschränkt (wie es sonst bei Brüchen üblich ist) zulassen. Mit Ihrem "Gegenbeispiel" haben Sie ja selbst gezeigt, dass man bei Bruchexponeten auf negative Basen verzichten muss, denn (-3)^(1/2) ist im Reellen halt nicht definiert, das kann man drehen und wenden wie man will. Dagegen wäre die Potenz wieder definiert, wenn man zuerst mit 4 und dann erst mit 1/2 potenziert. Man dürfte also bei negativer Basis im Exponeten nicht mehr das Kommutativgesetz der Multiplikation anwenden: Die Reihenfolge 4*(1/2) - wohlgemerkt im Exponeten - und die Reihenfolge (1/2)*4 würde zu unterschiedlichen Ergebnissen führen: Im ersten Fall wäre die Potenz (bei negativer Basis) definiert, im zweiten Fall dagegen nicht. Das ist ja auch genau das Problem im Beispiel von MBler07: Wenn man (-27) erst quadriert und erst danach die 6. Wurzel zieht, dann "gehts", in umgekehrter Reihenfolge gehts nicht. Genau um solche Probleme zu vermeiden, die bei negativer Basis plötzlich die Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation im Exponenten verbieten würden, werden Potenzen mit Exponenten aus Q (oder R) nur für nichtnegative Basen definiert. Im Übrigen: Vor 20 Jahren haben Taschenrechner bei Eingabe von "dritte Wurzel aus (-27)" ERROR angezeigt. Weil das Schüler oft genug irritiert hat (denn die Gleichung x^3 = -27 hat ja eine Lösung, nämlich x=-3), haben die Hersteller zur Erleichterung für die Schüler, aber gegen die mathematische Definition, dafür gesorgt, dass der TR "dritte Wurzel aus (-27)" ausrechnet, er also automatisch bei obiger Eingabe "- dritte Wurzel aus (27)" berechnet, also das zur Lösung(szahl) gehörende Minuszeichen automatisch vor die mit dem positiven Radikanden berechnete dritte Wurzel setzt. Benutzt man zur Berechnung dagegen nicht die "3. Wurzel-Taste", sondern die "y hoch x" Taste und verwendet den Exponenten 1/3, so "streiken" meines Wissens - ich habe keine TR, der weniger als 15 Jahre alt ist, kanns also nicht direkt nachprüfen - auch die heutigen TR noch und melden ERROR.
MfG mokka 60 |
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Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ich wusste schon immer, dass man in der Schule zu viel Mist beigebracht bekommt :-) Mit meinem ca. 1/2 Jahr alten, nicht programmierbaren Taschenrechner (von der BA gestellt und als einziger zugelassen) ist übrigens beides möglich und ich bekomme keinen Fehler... |
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Hallo MBler07, geht das auch noch problemlos bei z.B. (-128)^(2/7) bzw. (-128)^(3/7) = (-(2^7))^(3/7)? Wegen der negativen Basis sind beide Potenzen nicht definiert. Die zweite Potenz kann als formal nicht korrekt dargestellte Lösung der Gleichung
x^7 = -(128^3) angesehen werden.
Sie hat (im Reellen) genau eine negative Lösung, nämlich:
x = - ((128^3)^(1/7) = - (128^(3/7)) = - (2^7))^(3/7) = - (2^3) = -8.
Probe: x = -8 in die Gleichung einsetzen! (-8)^7 und -(128^3) liefern denselben Wert.
MfG mokka60 |
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Hallo Mokka60 statt hier zu streiten, empfehle ich dir einfach mal diese Seite (ca. 2.5 Seiten nach unten scrollen und lesen, was unter dem Titek "Rationale Exponenten" steht): de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Mathematik%29 Alles klar? Gruss Paul |
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Hallo Paulus, hier ein Zitat aus der empfohlenen Wikipedia-Seite: Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen mit ungeraden Exponenten zulässt, kann man die Definition auf negative Basen a und rationale Exponenten erweitern, wenn der Nenner des Exponenten ungerade ist. Dann gilt beispielsweise ( − 27)1 / 3 = − 3. Das Potenzgesetz (ar)s = ars gilt dann jedoch nur noch, wenn der Nenner von s ebenfalls ungerade ist.
Ich habe mir erlaubt, die erforderlichen zusätzlichen Einschränkungen "fett" und "unterstrichen" zu setzen.
Und hier ein Zitat aus meinen Ausführungen von heute (15.03.08) um 20.35Uhr:
Das ist die in der Mathematik üblicheDefinition, [gemeint war die Einschränkung auf nichtnegative Basen bei (beliebigen) Bruchexponenten] damit im Exponenten mit Brüchen ohne irgendwelche Einschränkungen [nachträgliche Hervorhebung durch mich]gerechnet werden kann.
Es gilt also weiterhin: Bitte erst einmal genau lesen.
MfG mokka60 |
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Bei dem anderen Beispiel geht's nicht mehr. Er gibt dann einen Fehler aus. Ich muss demnächst also aufpassen wie ich Aufgaben eingebe. Grüße |
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Hallo Gwendoline, hallo MBler07,
möglicherweise hat euch die Antwort von Paulus etwas verunsichert. Vielleicht auch die Mitteilung von Gwendoline, dass diese Aufgabe aus einer früheren Abituraufgabe stammt. Trotzdem gilt: Potenzen mit Bruchexponenten sind nur bei positiver Basis definiert (im vorangehenden habe ich immer geschrieben: "nicht-negative Basis", was aber nicht ganz korrekt ist. Denn bei negativem (Bruch-)Exponenten - schon bei ganzzahlig negativen Exponenten - darf die Basis auch nicht die Null sein.
"Letzte" Instanz in der Mathematik ist nicht Wikipedia, wo meist niemand weiß, wer die entsprechenden Beiträge verfasst hat und wo niemand für sachliche Richtigkeit garantiert, sondern Logik und (mathematische) Widerspruchsfreiheit.
Hier eine letzte und, so hoffe ich, überzeugende Begründung: Bekanntlich ist die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion zur Potenzfunktion. Der Logarithmus von a zur Basis b ist diejenige Zahl, mit der man die Basis b potenzieren muss, um das a (den sogenannten Numerus) zu erhalten. Diese Definition steht in jedem vernünftigen Mathe-Schulbuch.
Wäre (-27)^(1/3) = -3, so würde gelten: Wenn ich (-27) mit 1/3 potenziere, so muss ich -3 erhalten, mit anderen Worten: Der Logarithmus von (-3) zur Basis -27 ist 1/3. Nun hat der TR nur den 10er-Logarithmus und den ln, aber es gibt ja eine Umrechnungsformel, mit der man den Logarithmus von einer Zahl zu jeder beliebigen anderen (zulässige) Logarithmenbasis berechnen kann, wenn man den Logarithmus von dieser Zahl zu irgend einer Basis kennt.
Der Logarithmus zu einer Basis b berechnet sich dann mit Hilfe des 10er-Logarithmus (auf dem TR mit log bezeichnet) nach folgender Formel: Logarithmus von x zur Basis b = (log x)/(log b). Für b= -3 und x = -27 also: Logarithmus von (-27) zur Basis (-3) = (log (-27))/(log (-3)). Und spätestens hier steigt jeder TR aus, weil der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert ist. Da stellen sich die TR-Hersteller gewissermaßen selbst ein Bein, weil ihre 3. Wurzel aus negativen Zahlen ad absurdum geführt wird. Nur: Was kümmert das die Werbestrategen der Hersteller: Ein TR, bei dem der Schüler nur "Knöpfchen drücken" muss ohne mit- und nachzudenken, verkauft sich halt besser als ein TR ohne diesen "Unfug":
Und, Gwendoline, was deine Abituraufgabe betrifft: Asche auf das Haupt der Verantortlichen im Kultusministerium deines Bundeslandes, die diesen Fehler nicht bemerkt haben.
MfG
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@mokka60, ich denke nicht im Traum daran, mich in die immer wieder aufkeimende Diskussion bzgl. ungerader Wurzeln von negativen Zahlen einzumischen. Selbstverständlich habe auch ich eine Meinung dazu. Ich wollte nur anmerken, dass Logarithmusfunktionen nicht die Umkehrfunktionen zu den Potenzfunktionen sind. Gruß Rentnerin |
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Hallo, danke für den Hinweis: Natürlich muss es heißen: Die Log.-funktion ist die Umkehrfunktion zur (allgemeinen) Exponentialfunktion. Ich habe zwar meinen Text vor dem absenden nochmals überflogen, dabei auch mindestens 10 Tippfehler noch ausgebessert, aber diesen Fehler leider übersehen und ich will ihn nicht nachträglich über "Bearbeiten" einfach ausbessern.
MfG |
