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Schüler

Tags: Folge, reih, Summe

 
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Joshua2

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10:54 Uhr, 07.04.2019

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Hallo, bekommt man diesen Term noch weiter zusammengefasst?
3,5(1,021+1,022+1,023+1,024+.....+1,02n)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
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supporter

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11:01 Uhr, 07.04.2019

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3,51,021,02n-11,02-1

vorschüssiger Rentenentwert

de.wikipedia.org/wiki/Rentenrechnung#Grundformeln
Joshua2

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11:57 Uhr, 07.04.2019

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Danke, Summe [1 bis n] von (3,51,02x) müsste auch gehen, Summe [1 bis n] von (3,51,02x)=174 lässt sich aber wohl nicht ausrechnen, die andere Zusammenfassung schon.
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supporter

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12:13 Uhr, 07.04.2019

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Du musst 1,02n schreiben. x macht keinen Sinn, wenn du die Summe von 1 bis n bilden willst.
Für n größer 3 brauchst du ein Näherungsverfahren, für n=3 die Cardano-Formel.
Joshua2

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17:16 Uhr, 07.04.2019

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Oder man versucht es über das Integral.


Integral und Mittelwert

Nimmt man die Funktion x2 und bildet das Integral z.B. von 2 bis 4 dann erhält man gerundet 18,667, geteilt durch 2 erhält man 9,333

Nimmt man Summe 2 bis 4 der Funktion und teilt die durch 3 erhält man 9,667.
Nimmt man 121 der Summe von 20 bis 40 von (x10)2 bekommt man 9,367.
Nimmt man 1201 der Summe von 200 bis 400 von (x100)2 bekommt man 9,3367.
Nimmt man 12001 der Summe von 2000 bis 4000 von (x1000)2 bekommt man 9,33367

D.h. das Integral sollte genauer sein, als die Bildung des Mittelwerts über die Summenfunktion yi/n


Auf die Rechnung oben bezogen

3,5⋅1,02⋅(1,02^n−1)/(1,02−1) =174
ergibt für n=34,36220916

Nun kann man aber Summe[0 bis n] von (3,51,02x)=174
ggf. auch schreiben als (log((174ln(1,02)3,5)+1)log(1,02)
und bekommt dann n=34,6092271

Summe[1 bis n] von (3,51,02x)=174
ggf. auch schreiben als (log((174ln(1,02)3,5)+1,02)log(1,02)
und bekommt dann n=35,11561411

Für das Integral [0 bis 34,6092271] erhalte ich dann natürlich genau 174
Für die Summe [0 bis 34609] von (0,0351,02x1000 erhalte ich dann 174,0036
Für die Summe [1000 bis 34609] von (0,0351,02x1000 erhalte ich dann 170,46

Für das Integral [0 bis 34,36220916] erhalte ich dann 172,29
Für die Summe [0 bis 34362] von (0,00351,02x1000 erhalte ich dann 172,29

Der Rechenweg über das Integral scheint erst mal also genauer.

Das kann man ja mal mit weniger Rechenschritten nachrechnen, z.B. mit 5

3,5⋅1,02⋅(1,02^5−1)/(1,02−1) =18,57842337

Integral [0 bis 5] von 3,51,02x=18,396
Integral [1 bis 5] von 3,51,02x=14,86

Summe [0 bis 5] von 3,51,02x=22,07842337
Summe [1 bis 5] von 3,51,02x=18,57842337

Summe [0 bis 50] von 0,351,02x10=18,76
Summe [10 bis 50] von 0,351,02x10=15,23

Summe [0 bis 500] von 0,0351,02x100=18,43
Summe [100 bis 500] von 0,0351,02x100=14,898

Summe [0 bis 5000] von 0,00351,02x1000=18,399
Summe [1000 bis 5000] von 0,00351,02x1000=14,86

3,5+3,51,02+3,51,022+3,51,023+3,51,024+3,51,025=22,07842337
3,51,02+3,51,022+3,51,023+3,51,024+3,51,025=18,57842337

Also die Rechnung 3,5⋅1,02⋅(1,02^5−1)/(1,02−1) die ja der Summe [1 bis 5] von 3,51,02x entspricht scheint richtiger als das Integral. Aber die genaueren Summen mit vielen Zwischenwerten einsprechen dem Integral. Ist das doch Integral doch genauer, da es ja der genaueren Summe mit Zwischenwerten, also nicht nur 1;2;3 sondern 1;1,001;1,002;1,003; usw. entspricht? Und warum sollte die Fläche von Null bis n der Summe von 1 bis n entsprechen?
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supporter

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17:27 Uhr, 07.04.2019

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Integral nimmt man bei stetiger/kontinuierlicher Verzinsung/Zunahme d.h. es wird permanent verzinst.
Bei diskreter Verzinsung ist das Integral nicht anwendbar.

Woe lautet die Aufgabe im Original?
Joshua2

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20:08 Uhr, 07.04.2019

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Es wurde 2006 festgestellt, dass noch 174 Milliarden Tonnen Öl im Boden lagern. Wie lange kann noch Öl gefördert werden, wenn a) ein Verbrauch von 3,8 Milliarden Tonnen jährlich angenommen wird, b) ein Verbrauch von 3,5 Milliarden Tonnen, der sich jährlich um 2% steigert. Auch wenn eigentlich von einer permanenten Steigerung auszugehen ist, sollte wohl die Jahresabschlussrechnung hier richtig sein, oder? Die Werte liegen allerdings sehr eng aneinander, und daher sollte es bei der Abschätzung eh egal sein. Aber was wäre richtiger?

Bei der Jahresabschlussrechnung wären dann wohl für das erste Jahr, also das Jahr 0 noch 3,5 Milliarden Tonnen abzuziehen.
3,5⋅1,02⋅(1,02^n−1)/(1,02−1) =170,5
So käme man auf 33,86 Jahre +1=34,86
Das Öl ginge danach im Jahr 2006+34,86=2040,86 zu neige

Mit Integral für [0 bis n] kommt man auf 34,61 Jahre
log((174ln(1,02)3,5)+1)log(1,02)
Das Öl ginge danach im Jahr 2006+34,61=2040,61 zu neige

Mit Integral für [1 bis n] auf 34,61+1=35,61?
log((170,5ln(1,02)3,5)+1,02)log(1,02)
Das Öl ginge danach im Jahr 2006+35,61=2041,61 zu neige






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ledum

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19:58 Uhr, 09.04.2019

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Hallo
Bleibt noch ne Frage? sonst hak ab. Das wesentliche ist doch dass bei allen 3 Wegen gerundet 35 Jahre rauskommt, und genauer kann man bei 2% (und nicht 2,00% sicher keine Aussage treffen. Auch die 3,5 sind ja nicht 3,500 sondern ein gerundeter Wert.
Gruß lul
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