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Tetraeder_Eckpunkte und Winkel bestimmen

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Eckpunkt, Körper, tetraeder, Tetraederwinkel

tiju...

09:16 Uhr, 10.05.2017

Hallo an Alle! Ich muss dieses Semester Geometrie belegen und ich hätte nie gedacht, dass mir dieser Bereich so schwer fallen würde.. Nun sitze ich erneut an einer sicherlich kinderleichten Aufgabe und ich komme einfach nicht klar.

Sei

S

die Einheitssphäre im

R^{3}

a)

Finden Sie vier Punkte

A, B, C, D

auf

S,

welche die Eckpunkte eines regelmäßigen Tetraeders sind. Beschreiben Sie dabei, wie Sie bei Ihrer Suche vorgegangen sind. Weisen Sie zur Kontrolle nach, dass die Punkte paarweise den gleichen Abstand haben.

b)

Bestimmen Sie auf zwei verschiedene Weisen den sogenannten Tetraederwinkel, also die Größe etwa des Winkels AOB; mindestens einer der Wege sollte sphärische Trigonometrie benutzen

(z . B

. Sinussatz, Seiten-oder Winkelkonsinussatz).

Zu

a)

habe ich mir mal 4 Punkte aus dem Internet gesucht

(A (9 | - 4 | - 2), B (- 3 | 8 | - 2), C (- 3 | - 4 | 10), D (9 | 8 | 10))

und ich kriege es nicht mal hin bei diesen Punkten zu zeigen, dass sie paarweise den gleichen Abstand haben. Ich habe auch schon sehr viel gegooglt....

Danke im Voraus!

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

Edddi aktiv_icon

09:53 Uhr, 10.05.2017

. .

. ich wage zu bezweifeln dass du unter "Abstand Punkte im Raum" bei google nicht fündig geworden bist.

Dann könntest du ja einen Punkt auf der Spähre schon mal einfach definieren als

A = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Dann könnte man noch einen Punkt

B = (\begin{matrix} 0 \\ y_{B} \\ z_{B} \end{matrix})

zum Teil definieren. Dann bleiben noch die Punkte

C = (\begin{matrix} x_{C} \\ y_{C} \\ z_{B} \end{matrix})

und

D = (\begin{matrix} x_{D} \\ y_{D} \\ z_{B} \end{matrix})

B, C

D

auf einem Kreis liegen und in der "Draufsicht" um

120

° versetzt sind kann man noch festlegen:

C = (\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{2} y_{B} \\ - \frac{1}{2} y_{B} \\ z_{B} \end{matrix})

und

D = (\begin{matrix} - \frac{\sqrt{3}}{2} y_{B} \\ - \frac{1}{2} y_{B} \\ z_{B} \end{matrix})

Man hat also:

A = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 0 \\ y_{B} \\ z_{B} \end{matrix}), C = (\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{2} y_{B} \\ - \frac{1}{2} y_{B} \\ z_{B} \end{matrix}), D = (\begin{matrix} - \frac{\sqrt{3}}{2} y_{B} \\ - \frac{1}{2} y_{B} \\ z_{B} \end{matrix})

Über den konstanten Abstand könnte man nun

y_{B}

und

z_{B}

ohnen weiteres bestimmen.

tiju...

10:56 Uhr, 10.05.2017

Hallo Eddi,

ja du hast Recht. Ich habe engstirnig Abstände von Tetraedern gegooglt, aber die Abstände berechnen sich ja quasi immer gleich :-D)...

Ich habe nun hin und her umgestellt und erhalte für

y_{b} = \frac{z_{b} - 1}{\sqrt{2}}

und für

z_{b} = \sqrt{2} \cdot y_{b} + 1

Bzw. dass die Abstände alle

\sqrt{3} \cdot y_{b}

sind.

Ich verstehe nur nicht, wie ich da weiterkomme um die Unbekannten zu bekommen..

ledum aktiv_icon

15:22 Uhr, 10.05.2017

Hallo
es sollte dir leicht fallen einen Würfel in die Sphäre zu projizieren, dann den Tetraeder durch die Seitendiagonalen, wie in meinem Bild.
Gruß ledum

Edddi aktiv_icon

11:25 Uhr, 11.05.2017

@ ledum

. .

. jau, eine sehr gute Idee.

;-)

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