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Textaufgabe Differentialgleichung 1 Ordnung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Differentiagleichung 1. Ordnung, Gewöhnliche Differentialgleichungen

OhMeinP aktiv_icon

19:02 Uhr, 17.11.2013

In einer Zisterne ist am Anfang

200 l

frisches Waser enthalten. Sie hat einen Zulauf, sowie einen Ablauf . Salzwasser mit

6 g

Salz pro Liter fließt durch den Zulauf mit einer Rate von

12

Liter pro Minute in die Zisterne ein. Durch den Ablauf fließt kontinuierlich die Wasser-Salz Lösung mit der gleichen Rate ab. Wie viel Gramm Salz wird in der Zisterne nach

20

Minuten vorhanden sein.

Hinweis: Bezeichnen Siemit

S (t)

die Menge

(\in

Liter)n des Salzes in der Zisterne in dem Zeitpunkt

t

und formulieren Sie die Gleichung, die von dieser Variable erfüllt werden muss.

Das einzige, was ich weiß ist, dass ich eine gleichung der form

s' (t) = s (t) + m (t)

aufstellen muss. Aber wie ich das machen soll, keineAhnung. Kann mirwer weiterhelfen?

Vielen Dank im Voraus

Paul

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DK2ZA aktiv_icon

22:25 Uhr, 17.11.2013

S (t)

ist die Menge des zum Zeitpunkt

t

in der Zisterne vorhandenen Salzes in Gramm.

Nun betrachten wir die zeitliche Änderung der Salzmenge.

Wenn man annimmt, dass zu jedem Zeitpunkt das Salz im Wasser gleichmäßig verteilt ist, und dass

12

von den

200

Litern pro Minute abfließen, dann heißt das, dass die Salzmenge zur Zeit

t

gerade um

\frac{12}{200} \cdot S (t)

je Minute abnimmt.

Andererseits fließen gleichzeitig je Minute

12

Liter Salzlösung mit

12 \cdot 6

Gramm Salz zu.

Damit gilt für die zeitliche Änderung

S' (t)

der Salzmenge:

S' (t) = 12 \cdot 6 \frac{g}{m i n} - \frac{12}{200} \cdot \frac{1}{m i n} \cdot S (t)

Für diese Diffgl. gilt noch die Randbedingung, dass

S (0) = 0 g

ist.

GRUSS, DK2ZA

OhMeinP aktiv_icon

23:28 Uhr, 17.11.2013

Cool, danke!!

Ich hab allerdings auch noch Schwierigkeiten mit dem lösen so mancher Anfangswertprobleme. Magst mir da noch Tipps geben? Ich steh grad echt auf dem Schlauch bei der Aufgabe...

DK2ZA aktiv_icon

07:55 Uhr, 18.11.2013

Im wesentlichen besagt die Differentialgleichung, dass die Ableitung

S' (t)

der gesuchten Funktion

S (t)

gleich der Funktion selbst ist (mit einigen "Verzierungen").

Diese Eigenschaft ist kennzeichnend für die Exponentialfunktion

f (x) = e^{x},

bei der ja auch

f' (x) = e^{x}

ist. Also versuchen wir diesen Ansatz mit einigen Konstanten wegen der "Verzierungen":

S (t) = a \cdot e^{b \cdot t} + c

An dieser Stelle können wir gleich die Randbedingung einbringen:

0 = a \cdot e^{b \cdot 0} + c

0 = a \cdot 1 + c

c = - a

Damit lautet der Ansatz jetzt:

S (t) = a \cdot e^{b \cdot t} - a

Nun brauchen wir

S' (t) :

S' (t) = a \cdot b \cdot e^{b \cdot t}

Einsetzten in die Differentialgleichung:

a \cdot b \cdot e^{b \cdot t} = 72 \frac{g}{m i n} - 0,06 m i n^{- 1} \cdot (a \cdot e^{b \cdot t} - a)

a \cdot b \cdot e^{b \cdot t} = 72 \frac{g}{m i n} - 0,06 m i n^{- 1} \cdot a \cdot e^{b \cdot t} + 0,06 m i n^{- 1} \cdot a

Hier müssen der variable Teil und der konstante Teil getrennt betrachtet werden.

Variabler Teil:

a \cdot b \cdot e^{b \cdot t} = - 0,06 m i n^{- 1} \cdot a \cdot e^{b \cdot t}

b = - 0,06 m i n^{- 1}

Konstanter Teil:

0 = 72 \frac{g}{m i n} + 0,06 m i n^{- 1} \cdot a

a = - 1200 g

Damit wird

S (t) = - 1200 g \cdot e^{- 0,06 m i n^{- 1} \cdot t} + 1200 g

Man sieht, dass nach sehr langer Zeit

S = 1200 g

ist,

d . h

. die Salzkonzentration ist wie im Zulauf.

GRUSS, DK2ZA

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